九州大学 2017年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

座標平面上の曲線 $C : y = x$ $(x ≧ 0)$ を考える。 $C$ 上の異なる2点 $P (p, p)$ ， $Q (q, q)$ $(p > 0, q > 0)$ における，それぞれの法線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ を考える。法線 $l_{1}$ と $l_{2}$ の交点を $R$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $R$ の座標を $p$ と $q$ で表せ。

(2) $q$ が $p$ に限りなく近づくとき，線分 $R P$ の長さの極限値を $p$ で表せ。

出典：九州大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

解法1

$u = p$ ， $v = q$ とおくと，曲線上の点は $(u^{2}, u)$ ， $(v^{2}, v)$ となり，法線の傾きはそれぞれ $- 2 u, - 2 v$ で表せる。2本の法線を連立して交点 $R$ を求める。 $q \to p$ は $v \to u$ として座標の極限を取り，最後に極限位置と $P$ との距離を計算する。

解法2

曲線を $x = t^{2}, y = t$ と媒介変数表示し，法線の式を $t$ で表す。交点から $P$ への差を先に計算し， $v \to u$ の極限を直接取る。

解答

解法1

(1)

$u = p, v = q$ とおく。すると $P = (u^{2}, u), Q = (v^{2}, v)$ である。曲線 $y = x$ の導関数は $y^{'} = \frac{1}{2 x}$ なので，点 $(u^{2}, u)$ における接線の傾きは $\frac{1}{2 u}$ ，法線の傾きは $- 2 u$ である。したがって $P$ における法線は $y - u = - 2 u (x - u^{2})$ である。同様に， $Q$ における法線は $y - v = - 2 v (x - v^{2})$ である。

2式を $y = - 2 ux + 2 u^{3} + u$ $y = - 2 v x + 2 v^{3} + v$ と書いて連立する。 $u \neq = v$ であるから，差を取って $2 (v - u) x + 2 (u^{3} - v^{3}) + (u - v) = 0$ となる。 $u^{3} - v^{3} = (u - v) (u^{2} + uv + v^{2})$ を用いると $2 x - 2 (u^{2} + uv + v^{2}) - 1 = 0$ である。よって $x = u^{2} + uv + v^{2} + \frac{1}{2} = p + pq + q + \frac{1}{2}$ である。これを $y = - 2 ux + 2 u^{3} + u$ へ代入すると $y = - 2 uv (u + v) = - 2 pq (p + q)$ となる。したがって $R = (p + pq + q + \frac{1}{2}, - 2 pq (p + q))$ である。

(2)

$q \to p$ のとき， $v = q \to u = p$ である。したがって(1)の結果から $R \to (3 p + \frac{1}{2}, - 4 p p)$ である。 $P = (p, p)$ なので，極限位置との差は $(2 p + \frac{1}{2}, - (4 p + 1) p)$ である。よって線分 $R P$ の長さの極限は

(2 p + \frac{1}{2})^{2} + (4 p + 1)^{2} p = (4 p + 1)^{2} (\frac{1}{4} + p) = (4 p + 1)^{2} \cdot \frac{4 p + 1}{4} = \frac{( 4 p + 1 ) ^{3/2}}{2}

である。

解法2

(1)

$u = p, v = q$ とする。曲線上の点 $(t^{2}, t)$ における法線は

y - t = - 2 t (x - t^{2})

である。 $t = u, v$ の2式を引き， $u \neq = v$ を用いると

x = u^{2} + uv + v^{2} + \frac{1}{2}, y = - 2 uv (u + v) .

したがって

R = (p + pq + q + \frac{1}{2}, - 2 pq (p + q)) .

(2)

$P = (u^{2}, u)$ なので

P R = (uv + v^{2} + \frac{1}{2}, - 2 uv (u + v) - u) .

$q \to p$ ，すなわち $v \to u$ とすると

P R ⟶ (2 p + \frac{1}{2}, - (4 p + 1) p) .

ゆえに長さの極限は

(2 p + \frac{1}{2})^{2} + (4 p + 1)^{2} p = (4 p + 1)^{2} (p + \frac{1}{4}) = \frac{( 4 p + 1 ) ^{3/2}}{2} .

九州大学 2017年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

九州大学 2017年度
後期・理系数学後期第1問