九州大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$u=\sqrt{p},v=\sqrt{q}$$ とおく。すると $$P=(u^2,u),Q=(v^2,v)$$ である。曲線$$y=\sqrt{x}$$の導関数は $$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ なので，点$(u^2,u)$における接線の傾きは$\frac{1}{2u}$，法線の傾きは$-2u$である。したがって$P$における法線は $y-u=-2u(x-u^2)$ である。同様に，$Q$における法線は $y-v=-2v(x-v^2)$ である。

2式を $y=-2ux+2u^3+u$ $y=-2vx+2v^3+v$ と書いて連立する。$u\mathrm{\ne }v$であるから，差を取って $$2(v-u)x+2(u^3-v^3)+(u-v)=0$$ となる。$$u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$$を用いると $2x-2(u^2+uv+v^2)-1=0$ である。よって $$x=u^2+uv+v^2+\frac{1}{2}=p+\sqrt{pq}+q+\frac{1}{2}$$ である。これを$y=-2ux+2u^3+u$へ代入すると $$y=-2uv(u+v)=-2\sqrt{pq}(\sqrt{p}+\sqrt{q})$$ となる。したがって $$R=(p+\sqrt{pq}+q+\frac{1}{2},-2\sqrt{pq}(\sqrt{p}+\sqrt{q}))$$ である。

(2) $q\to p$のとき，$$v=\sqrt{q}\to u=\sqrt{p}$$である。したがって(1)の結果から $$R\to (3p+\frac{1}{2},-4p\sqrt{p})$$ である。$$P=(p,\sqrt{p})$$なので，極限位置との差は $(2p+\frac{1}{2},-(4p+1)\sqrt{p})$ である。よって線分$RP$の長さの極限は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sqrt{{(2p+\frac{1}{2})}^2+(4p+1{)}^{2}p}}& {\displaystyle =\sqrt{(4p+1{)}^2(\frac{1}{4}+p)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{(4p+1{)}^2\cdot \frac{4p+1}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(4p+1{)}^{3\mathrm{/}2}}{2}}\end{array}$$である。

曲線を $x=t^2,y=t$ と媒介変数表示し，法線の式を $t$ で表す。交点から $P$ への差を先に計算し，$v\to u$ の極限を直接取る。

(1) $$u=\sqrt{p},v=\sqrt{q}$$ とする。曲線上の点 $(t^2,t)$ における法線は$$y-t=-2t(x-t^2)$$である。$t=u,v$ の2式を引き，$u\mathrm{\ne }v$ を用いると$$x=u^2+uv+v^2+\frac{1}{2},y=-2uv(u+v)\mathrm{.}$$したがって$$R=(p+\sqrt{pq}+q+\frac{1}{2},-2\sqrt{pq}(\sqrt{p}+\sqrt{q}))\mathrm{.}$$(2) $P=(u^2,u)$ なので$$\overrightarrow{PR}=(uv+v^2+\frac{1}{2},-2uv(u+v)-u)\mathrm{.}$$$q\to p$，すなわち $v\to u$ とすると$$\overrightarrow{PR}⟶(2p+\frac{1}{2},-(4p+1)\sqrt{p})\mathrm{.}$$ゆえに長さの極限は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sqrt{{(2p+\frac{1}{2})}^2+(4p+1{)}^{2}p}}& {\displaystyle =\sqrt{(4p+1{)}^2(p+\frac{1}{4})}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(4p+1{)}^{3\mathrm{/}2}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$