九大 2013年度理系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

交点 $P$ は $\sqrt{x} = a^{3} / x$ から求める。 $P$ における $C_{1}$ の接線を出し、 $y$ 軸から $x = a^{2}$ まで、接線と $C_{1}$ の差を積分する。(2)は2本の接線の傾きを求め、直線のなす角の正弦を、方向ベクトル $(1, m_{1}), (1, m_{2})$ の面積公式で表す。最後に $a$ を掛けて極限を取る。

解答

(1)
交点 $P$ では $\sqrt{x} = \frac{a^{3}}{x}$ である。 $x > 0$ より $x^{3 / 2} = a^{3}$ なので $x = a^{2}, y = a$ である。したがって $P = (a^{2}, a)$ である。 $C_{1} : y = \sqrt{x}$ の導関数は $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ なので、点 $P$ における接線 $l_{1}$ の傾きは $1 / (2 a)$ である。よって $l_{1} : y - a = \frac{1}{2 a} (x - a^{2})$ すなわち $y = \frac{x}{2 a} + \frac{a}{2}$ である。

求める面積は、 $0 ≦ x ≦ a^{2}$ で接線が曲線 $C_{1}$ の上にある部分の面積である。したがって $S = \int_{0}^{a^{2}} (\frac{x}{2 a} + \frac{a}{2} - \sqrt{x}) d x$ である。計算すると $S = {[\frac{x^{2}}{4 a} + \frac{a}{2} x - \frac{2}{3} x^{3 / 2}]}_{0}^{a^{2}}$ $= \frac{a^{3}}{4} + \frac{a^{3}}{2} - \frac{2 a^{3}}{3} = \frac{a^{3}}{12}$ である。

(2) $C_{2} : y = a^{3} / x$ の導関数は $y^{'} = - \frac{a^{3}}{x^{2}}$ である。 $x = a^{2}$ における傾きは $- \frac{1}{a}$ である。したがって2本の接線の傾きは $m_{1} = \frac{1}{2 a}, m_{2} = - \frac{1}{a}$ である。

傾き $m_{1}, m_{2}$ の2直線のなす角 $θ$ について、方向ベクトルを $(1, m_{1}), (1, m_{2})$ と考えると $\sin θ = \frac{∣ m_{1} - m_{2} ∣}{\sqrt{1 + m_{1}^{2}} \sqrt{1 + m_{2}^{2}}}$ である。よって $\sin θ (a) = \frac{\frac{3}{2 a}}{\sqrt{1 + \frac{1}{4 a^{2}}} \sqrt{1 + \frac{1}{a^{2}}}}$ である。したがって $a \sin θ (a) = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{1 + \frac{1}{4 a^{2}}} \sqrt{1 + \frac{1}{a^{2}}}}$ であり、 $a \to \infty$ とすると $\lim_{a \to \infty} a \sin θ (a) = \frac{3}{2}$ である。

総評

難度5、目安20分。交点 $P = (a^{2}, a)$ と2本の接線の傾きが主要な配点箇所である。(1)では平方根曲線が下に凸なので接線が曲線の上側にあることと、積分区間が $[0, a^{2}]$ であることを明記したい。(2)は角そのものを求めず、方向ベクトルのなす角の正弦を使うと短い。傾きの差の絶対値を落とすこと、C2の微分で分母を $x$ のままにすることが典型ミスである。極限はaを掛けた式を先に整えてから代入する。

出典: 九州大学 2013年度前期日程数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

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解答

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九州大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系数学第1問