九州大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $$(n-1)\pi \leqq x\leqq n\pi$$ で $u=x-(n-1)\pi$ とおくと、$0\leqq u\leqq \pi$ であり、$\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }=\sin u$ である。したがって $$y=e^{-(n-1)\pi }{e}^{-u}\sin u$$ である。定数倍を除いて $g(u)=e^{-u}\sin u$ を最大化すればよい。

微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(u)=e^{-u}(\cos u-\sin u)$$ である。$0<u<\pi$ で最大となるのは $\cos u=\sin u$ すなわち $$u=\frac{\pi }{4}$$ のときである。よって$$P_n=((n-1)\pi +\frac{\pi }{4},\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-(n-1)\pi -\pi \mathrm{/}4})$$である。

(2)
点 $P_n$ の座標を $(X_n,Y_n)$ とすると $S_n=\frac{1}{2}{X}_n{Y}_n$ である。したがって$$S_n=\frac{1}{2\sqrt{2}}((n-1)\pi +\frac{\pi }{4})e^{-(n-1)\pi -\pi \mathrm{/}4}$$である。$r=e^{-\pi }$ とおくと$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n=\frac{\pi e^{-\pi \mathrm{/}4}}{2\sqrt{2}}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(m+\frac{1}{4})r^m$$である。ここで$$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^m=\frac{1}{1-r},\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}m{r}^m=\frac{r}{(1-r{)}^2}$$だから$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n=\frac{\pi e^{-\pi \mathrm{/}4}}{2\sqrt{2}}\{\frac{e^{-\pi }}{(1-e^{-\pi }{)}^2}+\frac{1}{4(1-e^{-\pi })}\}$$である。

(3) $$P_1=(\frac{\pi }{4},\frac{e^{-\pi \mathrm{/}4}}{\sqrt{2}})$$であるから、線分 $O{P}_1$ の方程式は$$\begin{array}{cccc}& y=\frac{4e^{-\pi \mathrm{/}4}}{\pi \sqrt{2}}x& & \text{(1)}\end{array}$$である。$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}4$ では曲線 $y=e^{-x}\sin x$ が(1)の上側にあり、
両者は $O,P_1$ で一致する。

青色部分が曲線 $C$ と線分 $O{P}_1$ で囲まれる領域である。

この領域を $x$ 軸のまわりに回転するので、外半径は $e^{-x}\sin x$、
内半径は(1)の右辺である。よって体積 $V$ は$$\begin{array}{cccc}& V=\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\{e^{-2x}{\sin }^{2}x-{\left(\frac{4e^{-\pi \mathrm{/}4}}{\pi \sqrt{2}}x\right)}^2\}dx\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$まず ${\sin }^{2}x=(1-\cos 2x)\mathrm{/}2$ より$$\int e^{-2x}{\sin }^{2}xdx=\frac{e^{-2x}}{8}(\cos 2x-\sin 2x-2)\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{cccc}& {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{e}^{-2x}{\sin }^{2}xdx=\frac{1-3e^{-\pi \mathrm{/}2}}{8}\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$また$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\left(\frac{4e^{-\pi \mathrm{/}4}}{\pi \sqrt{2}}x\right)}^{2}dx}& {\displaystyle =\frac{8e^{-\pi \mathrm{/}2}}{{\pi }^2}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^{\pi \mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi e^{-\pi \mathrm{/}2}}{24}\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(4)}\end{array}$$(2)、(3)、(4)から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi \{\frac{1-3e^{-\pi \mathrm{/}2}}{8}-\frac{\pi e^{-\pi \mathrm{/}2}}{24}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi e^{-\pi \mathrm{/}2}}{24}(3e^{\pi \mathrm{/}2}-\pi -9)\mathrm{.}}\end{array}$$