九州大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

交点の $x$ 座標は $x^2=-x^2+ax+b$ を満たす。すなわち $2x^2-ax-b=0$ である。2つの放物線が異なる2点で交わるためには、この2次方程式が異なる2つの実数解をもてばよい。判別式は $$(-a{)}^2-4\cdot 2\cdot (-b)=a^2+8b$$ であるから、求める条件は $a^2+8b>0$ である。

(2)

以下、(1)の条件を満たすとする。交点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とし、$\alpha <\beta$ とする。判別式を $D=a^2+8b$ とおくと、方程式 $2x^2-ax-b=0$ の2解の差は $$\beta -\alpha =\frac{\sqrt{D}}{2}$$ である。

2つの放物線の差を取ると $C_2-C_1=-2x^2+ax+b$ である。これは $x=\alpha ,\beta$ で0になり、$\alpha <x<\beta$ では正である。したがって $$-2x^2+ax+b=2(x-\alpha )(\beta -x)$$ と書ける。囲まれる部分の面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }2(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^{\beta -\alpha }u\{(\beta -\alpha )-u\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{3}}\end{array}$$である。ここに $$\beta -\alpha =\sqrt{D}\mathrm{/}2$$ を代入すると $$S=\frac{1}{3}{\left(\frac{\sqrt{D}}{2}\right)}^3=\frac{D^{3\mathrm{/}2}}{24}$$ である。

面積が9であるから $$\frac{D^{3\mathrm{/}2}}{24}=9$$ であり、$D^{3\mathrm{/}2}=216=6^3$ となる。$D>0$ なので $D=36$ である。よって $a^2+8b=36$ より $$b=\frac{36-a^2}{8}$$ である。

(3)

放物線 $C_2:y=-x^2+ax+b$ の頂点を求める。平方完成すると $$y=-{(x-\frac{a}{2})}^2+\frac{a^2}{4}+b$$ であるから、頂点は $(\frac{a}{2},\frac{a^2}{4}+b)$ である。

(2) より $b=(36-a^2)\mathrm{/}8$ だから、頂点を $(X,Y)$ とおくと $$X=\frac{a}{2},Y=\frac{a^2}{4}+\frac{36-a^2}{8}=\frac{a^2+36}{8}$$ である。$a=2X$ を代入して $$Y=\frac{4X^2+36}{8}=\frac{1}{2}{X}^2+\frac{9}{2}$$ を得る。

逆に、任意の実数 $X$ に対して $a=2X$ とすれば対応する頂点が得られる。したがって軌跡は $y=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{9}{2}$ である。図示すると、頂点 $(0,9\mathrm{/}2)$ をもち、上に開く放物線全体である。

頂点の軌跡を図示すると次の放物線全体である。