九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

接点の $x$ 座標を $t$ とし、$u=e^{-t}$ とおく。すると $u>0$ であり、曲線上の点の $y$ 座標は $e^{-t}-e^{-2t}=u-u^2$ である。また導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=-e^{-x}+2e^{-2x}$ だから、接点での傾きは $-u+2u^2=u(2u-1)$ である。 $u=\frac{1}{2}$ のとき傾きは0で、接線は $y=\frac{1}{4}$ となり $x$ 軸上の点を通らない。よって $u\mathrm{\ne }\frac{1}{2}$ とする。接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $a$ とすると $0-(u-u^2)=u(2u-1)(a-t)$ であるから $$a=t-\frac{u-u^2}{u(2u-1)}=-\log u-\frac{1-u}{2u-1}$$ である。そこで $$\varphi (u)=-\log u-\frac{1-u}{2u-1}$$ とおき、この値域を調べる。

微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)}& {\displaystyle =-\frac{1}{u}+\frac{1}{(2u-1{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{(u-1)(4u-1)}{u(2u-1{)}^2}}\end{array}$$である。

まず $0<u<\frac{1}{2}$ を考える。この区間では $u=\frac{1}{4}$ で増減が変わり、$\varphi (u)$ はそこで最小となる。また $$\underset{u\to 0+0}{\lim }\varphi (u)=\mathrm{\infty },\underset{u\to 1\mathrm{/}2-0}{\lim }\varphi (u)=\mathrm{\infty }$$ である。最小値は $$\varphi \left(\frac{1}{4}\right)=\log 4-\frac{3\mathrm{/}4}{-1\mathrm{/}2}=\log 4+\frac{3}{2}$$ である。したがってこの区間から得られる $a$ は $a\geqq \log 4+\frac{3}{2}$ である。

次に $u>\frac{1}{2}$ を考える。この区間では $u=1$ で最大となり、$\varphi (1)=0$ である。また$$\underset{u\to 1\mathrm{/}2+0}{\lim }\varphi (u)=-\mathrm{\infty },\underset{u\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (u)=-\mathrm{\infty }$$である。したがってこの区間から得られる $a$ は $a\leqq 0$ である。

以上より、求める範囲は $${\displaystyle a\leqq 0,a\geqq \log 4+\frac{3}{2}}$$ である。

接点 $t$ における接線の $x$ 切片を $\psi (t)$ として直接求める。$u=e^{-t}$ は微分の符号整理にだけ使い、$t=\log 2$ の水平接線を境にした2本の枝の値域を増減表とグラフで確認する。

曲線を $y=f(x)=e^{-x}-e^{-2x}$ とする。接点を $t$ とすれば、接線は$$y=f(t)+f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)$$である。これが $(a,0)$ を通るための条件は$$a=t-\frac{f(t)}{f^{\mathrm{\prime }}(t)}=t-\frac{1-e^{-t}}{2e^{-t}-1}=:\psi (t)$$である。ただし $f^{\mathrm{\prime }}(t)=0$、すなわち $t=\log 2$ のとき、接線は $y=1\mathrm{/}4$ で $x$ 軸と交わらないので除く。

$u=e^{-t}$ とおけば$${\psi }^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{(u-1)(4u-1)}{(2u-1{)}^2}\mathrm{.}$$分母は正であり、$u=1$ は $t=0$、$u=1\mathrm{/}4$ は $t=\log 4$ に対応する。

まず $t<\log 2$ では $u>1\mathrm{/}2$ である。この枝では $t=0$ で極大となり$$\psi (0)=0.$$また$$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\psi (t)=-\mathrm{\infty },\underset{t\to (\log 2)-0}{\lim }\psi (t)=-\mathrm{\infty }$$だから、この枝の値域は$$(-\mathrm{\infty },0]$$である。

次に $t>\log 2$ では $0<u<1\mathrm{/}2$ であり、$t=\log 4$ で極小となる。その値は$$\psi (\log 4)=\log 4-\frac{1-1\mathrm{/}4}{2(1\mathrm{/}4)-1}=\log 4+\frac{3}{2}\mathrm{.}$$さらに$$\underset{t\to (\log 2)+0}{\lim }\psi (t)=\mathrm{\infty },\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\psi (t)=\mathrm{\infty }$$だから、この枝の値域は$$[\log 4+\frac{3}{2},\mathrm{\infty })$$である。以上より$$a\leqq 0\text{または}a\geqq \log 4+\frac{3}{2}$$である。