問題
点を通り，曲線に接する直線が存在するような定数の値の範囲を求めよ。
出典：九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
解法1（指数置換で接線の切片の値域を調べる）
接点を 、さらに とおき、接線の 切片 を の関数として表す。水平接線となる を除き、左右の区間ごとに微分・端点極限を調べて値域を求める。
解法2（接点パラメータtのまま増減表を作る）
接点 における接線の 切片を として直接求める。 は微分の符号整理にだけ使い、 の水平接線を境にした2本の枝の値域を増減表とグラフで確認する。
解答
解法1（指数置換で接線の切片の値域を調べる）
接点の 座標を とし、 とおく。すると であり、曲線上の点の 座標は である。また導関数は だから、接点での傾きは である。 のとき傾きは0で、接線は となり 軸上の点を通らない。よって とする。接線が 軸と交わる点の 座標を とすると であるから である。そこで とおき、この値域を調べる。
微分すると
である。
まず を考える。この区間では で増減が変わり、 はそこで最小となる。また である。最小値は である。したがってこの区間から得られる は である。
次に を考える。この区間では で最大となり、 である。また
である。したがってこの区間から得られる は である。
以上より、求める範囲は である。
解法2（接点パラメータtのまま増減表を作る）
曲線を とする。接点を とすれば、接線は
である。これが を通るための条件は
である。ただし 、すなわち のとき、接線は で 軸と交わらないので除く。
とおけば
分母は正であり、 は 、 は に対応する。
まず では である。この枝では で極大となり
また
だから、この枝の値域は
である。
次に では であり、 で極小となる。その値は
さらに
だから、この枝の値域は
である。以上より
である。