九州大学 2017年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

解法1

(1)

$X=1-(1-k)x$ とおくと，$f(x)=X^{1/(1-k)}$である。$X^{\prime }=-(1-k)$なので $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1-k}{X}^{\frac{1}{1-k}-1}\{-(1-k)\}=-X^{\frac{k}{1-k}}$ である。ここで$X^{1/(1-k)}=f(x)$より $f^{\prime }(x)=-f(x{)}^k$ である。

(2)

さらに微分すると $f^{\prime \prime }(x)=-kf(x{)}^{k-1}{f}^{\prime }(x)=kf(x{)}^{2k-1}$ である。 $k=0$のときは $f(x)=1-x(0\leqq x\leqq 1)$ である。したがって単調減少する直線で，凹凸はなく，座標軸との交点は $(0,1),(1,0)$ である。 $0<k<1$のとき，定義域は $0\leqq x\leqq \frac{1}{1-k}$ である。この範囲の内部で$f(x)>0$なので $f^{\prime }(x)=-f(x{)}^k<0$ であり，単調減少である。また $f^{\prime \prime }(x)=kf(x{)}^{2k-1}>0$ なので，下に凸である。切片は $f(0)=1,f\left(\frac{1}{1-k}\right)=0$ より $(0,1),\left(\frac{1}{1-k},0\right)$ である。 $k>1$のときは $f(x)=\{1+(k-1)x{\}}^{-1/(k-1)}(x\geqq 0)$ である。やはり$f(x)>0$なので$f^{\prime }(x)<0$，$f^{\prime \prime }(x)>0$であり，単調減少かつ下に凸である。$f(0)=1$だから$y$軸との交点は$(0,1)$である。一方で$x\geqq 0$では常に$f(x)>0$なので$x$軸とは交わらない。また $x\to \infty$ のとき$f(x)\to 0$であるから，$x$軸を漸近線として近づく。

(3)

$h=k-1$ とおくと，$k\to 1+0$のとき$h\to +0$であり $1-(1-k)x=1+hx,\frac{1}{1-k}=-\frac{1}{h}$ である。したがって $\{1-(1-k)x{\}}^{1/(1-k)}=(1+hx{)}^{-1/h}$ である。$x=0$のときは明らかに極限は1で，これは$e^0$である。$x>0$のときは $(1+hx{)}^{-1/h}={\left\{(1+hx{)}^{1/(hx)}\right\}}^{-x}$ であり，$hx\to 0+$だから，問題文で与えられた$e$の定義より ${\lim }_{k\to 1+0}\{1-(1-k)x{\}}^{1/(1-k)}=e^{-x}$ である。

解法2

(1)

$X=1-(1-k)x$ とする。対数微分すると

$f/X=X^{k/(1-k)}=f^k$ なので

(2)

さらに

$k=0$ では $f(x)=1-x$ で，$(0,1)$ と $(1,0)$ を結ぶ減少直線である。$0<k<1$ では $0\leqq x\leqq 1/(1-k)$ 上で単調減少かつ下に凸で，切片は

$k>1$ でも単調減少かつ下に凸で，$y$ 切片は $(0,1)$，$x$ 軸とは交わらず，$y=0$ を漸近線とする。

(3)

$h=k-1$ とおくと

$x>0$ では

$x=0$ でも値は1なので，すべての $x\geqq 0$ について極限は $e^{-x}$ である。