九州大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $X=1-(1-k)x$ とおくと，$f(x)=X^{1\mathrm{/}(1-k)}$である。$X^{\mathrm{\prime }}=-(1-k)$なので $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1-k}{X}^{\frac{1}{1-k}-1}\{-(1-k)\}=-X^{\frac{k}{1-k}}$$ である。ここで$X^{1\mathrm{/}(1-k)}=f(x)$より $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-f(x{)}^k$ である。

(2)
さらに微分すると $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-kf(x{)}^{k-1}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=kf(x{)}^{2k-1}$$ である。 $k=0$のときは $$f(x)=1-x(0\leqq x\leqq 1)$$ である。したがって単調減少する直線で，凹凸はなく，座標軸との交点は $(0,1),(1,0)$ である。 $0<k<1$のとき，定義域は $$0\leqq x\leqq \frac{1}{1-k}$$ である。この範囲の内部で$f(x)>0$なので $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-f(x{)}^k<0$ であり，単調減少である。また $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=kf(x{)}^{2k-1}>0$ なので，下に凸である。切片は $$f(0)=1,f\left(\frac{1}{1-k}\right)=0$$ より $(0,1),(\frac{1}{1-k},0)$ である。 $k>1$のときは $$f(x)=\{1+(k-1)x{\}}^{-1\mathrm{/}(k-1)}(x\geqq 0)$$ である。やはり$f(x)>0$なので$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$，$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$であり，単調減少かつ下に凸である。$f(0)=1$だから$y$軸との交点は$(0,1)$である。一方で$x\geqq 0$では常に$f(x)>0$なので$x$軸とは交わらない。また $x\to \mathrm{\infty }$ のとき$f(x)\to 0$であるから，$x$軸を漸近線として近づく。

(3) $h=k-1$ とおくと，$k\to 1+0$のとき$h\to +0$であり $$1-(1-k)x=1+hx,\frac{1}{1-k}=-\frac{1}{h}$$ である。したがって $$\{1-(1-k)x{\}}^{1\mathrm{/}(1-k)}=(1+hx{)}^{-1\mathrm{/}h}$$ である。$x=0$のときは明らかに極限は1で，これは$e^0$である。$x>0$のときは $$(1+hx{)}^{-1\mathrm{/}h}={\{(1+hx{)}^{1\mathrm{/}(hx)}\}}^{-x}$$ であり，$hx\to 0+$だから，問題文で与えられた$e$の定義より $$\underset{k\to 1+0}{\lim }\{1-(1-k)x{\}}^{1\mathrm{/}(1-k)}=e^{-x}$$ である。

対数微分により $f^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}f$ を求め，そこから $f^{\mathrm{\prime }}=-f^k$ と $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=k{f}^{2k-1}$ を導く。極限は $h=k-1$ とおいて $e$ の定義へ帰着する。

(1) $X=1-(1-k)x$ とする。対数微分すると$$\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}=\frac{1}{1-k}\frac{-(1-k)}{X}=-\frac{1}{X}\mathrm{.}$$$f\mathrm{/}X=X^{k\mathrm{/}(1-k)}=f^k$ なので$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-f(x{)}^k\mathrm{.}$$(2) さらに$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=kf(x{)}^{2k-1}\mathrm{.}$$$k=0$ では $f(x)=1-x$ で，$(0,1)$ と $(1,0)$ を結ぶ減少直線である。$0<k<1$ では $0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}(1-k)$ 上で単調減少かつ下に凸で，切片は$$(0,1),(\frac{1}{1-k},0)\mathrm{.}$$$k>1$ でも単調減少かつ下に凸で，$y$ 切片は $(0,1)$，$x$ 軸とは交わらず，$y=0$ を漸近線とする。

(3) $h=k-1$ とおくと$$f(x)=(1+hx{)}^{-1\mathrm{/}h}\mathrm{.}$$$x>0$ では$$(1+hx{)}^{-1\mathrm{/}h}={\{(1+hx{)}^{1\mathrm{/}(hx)}\}}^{-x}⟶e^{-x}\mathrm{.}$$$x=0$ でも値は1なので，すべての $x\geqq 0$ について極限は $e^{-x}$ である。