九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
条件Aは、すべての実数 $t$ について $y\geqq xt-2t^2$ が成り立つということである。したがって、右辺 $xt-2t^2$ の最大値以下ではなく、最大値以上に $y$ があればよい。 $t$ について平方完成すると $${\displaystyle xt-2t^2=-2{(t-\frac{x}{4})}^2+\frac{x^2}{8}}$$ である。$t$ はすべての実数を動くので、最大値は ${\displaystyle \frac{x^2}{8}}$ である。よって条件Aは $${\displaystyle y\geqq \frac{x^2}{8}}$$ と同値である。

したがって求める集合は、放物線 $${\displaystyle y=\frac{x^2}{8}}$$ およびその上側の領域である。

(2)
条件Bでは、同じ不等式を $-1\leqq t\leqq 1$ のすべての $t$ について要求している。したがって、区間 $[-1,1]$ における $xt-2t^2$ の最大値を求めればよい。

(1) と同じ平方完成より、放物線の頂点は $${\displaystyle t=\frac{x}{4}}$$ である。まず $${\displaystyle -1\leqq \frac{x}{4}\leqq 1}$$ すなわち $-4\leqq x\leqq 4$ のとき、最大点は区間内にあるので最大値は ${\displaystyle \frac{x^2}{8}}$ である。

次に $x>4$ のとき、頂点 $x\mathrm{/}4$ は区間の右側にある。下に凸ではなく上に凸の二次式なので、区間 $[-1,1]$ では右端 $t=1$ で最大となり、最大値は $x-2$ である。

同様に $x<-4$ のとき、頂点 $x\mathrm{/}4$ は区間の左側にあるから、左端 $t=-1$ で最大となり、最大値は $-x-2$ である。

よって条件Bをみたす点全体は$$\{\begin{array}{ll}y\geqq -x-2& (x<-4),\\ y\geqq {\displaystyle \frac{x^2}{8}}& (-4\leqq x\leqq 4),\\ y\geqq x-2& (x>4)\end{array}$$で表される領域である。境界は $(-4,2)$ と $(4,2)$ でなめらかにつながり、図示すると中央が放物線、その左右が2本の直線で囲まれる上側の領域になる。

不等式を $y\ge xt-2t^2$ と読み替え，右辺を $t$ の関数として最大化する。(1)は全実数上の最大値，(2)は区間 $[-1,1]$ 上の最大値であり，頂点 $t=x\mathrm{/}4$ が区間内にあるかどうかで場合分けする。

(1)
条件Aは$$y\ge xt-2t^2$$がすべての実数 $t$ で成り立つことである。右辺を$${\mathrm{\Phi }}_x(t)=xt-2t^2=-2{(t-\frac{x}{4})}^2+\frac{x^2}{8}$$とおくと，全実数上の最大値は $x^2\mathrm{/}8$ である。したがって求める集合は$$y\ge \frac{x^2}{8}$$であり，境界を含む放物線の上側である。

(2)
今度は $-1\le t\le 1$ における ${\mathrm{\Phi }}_x(t)$ の最大値を求める。頂点 $t=x\mathrm{/}4$ を用いると，$$\underset{-1\le t\le 1}{\max }{\mathrm{\Phi }}_x(t)=\{\begin{array}{ll}-x-2,& x<-4,\\ {\displaystyle \frac{x^2}{8}},& -4\le x\le 4,\\ x-2,& x>4.\end{array}$$実際，$x<-4$ では区間上で減少して $t=-1$ が最大，$x>4$ では増加して $t=1$ が最大である。よって求める集合は$$y\ge \{\begin{array}{ll}-x-2,& x<-4,\\ {\displaystyle \frac{x^2}{8}},& -4\le x\le 4,\\ x-2,& x>4\end{array}$$であり，いずれも境界を含む。