九州大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

チームAが勝つ確率は $q$、Bが勝つ確率は $1-q$ である。ルール1でAが優勝するのは、次のいずれかである。

1つ目は、Aが最初の2試合に連勝する場合で、確率は $q^2$ である。2つ目は、最初の2試合を1勝1敗で終え、3試合目にAが勝つ場合である。最初の2試合の勝敗は $AB,BA$ の2通りであり、それぞれ確率は $q(1-q)$ である。したがってこの場合の確率は $$2q(1-q)\cdot q=2q^2(1-q)$$ である。

よって $$P_1(q)=q^2+2q^2(1-q)=q^2(3-2q)$$ である。

(2)

ルール2では、直前の試合でどちらが勝ったかを状態として考える。直前にAが勝っている状態から、最終的にAが優勝する確率を $X$ とする。また、直前にBが勝っている状態から、最終的にAが優勝する確率を $Y$ とする。

直前にAが勝っている状態で次にAが勝てば、Aが2連勝して優勝する。その確率は $q$ である。次にBが勝てば、直前にBが勝っている状態へ移る。したがって $X=q+(1-q)Y$ である。

直前にBが勝っている状態では、次にBが勝てばBが優勝してAは優勝しない。次にAが勝てば、直前にAが勝っている状態へ移る。したがって $Y=qX$ である。

これらを連立して $X=q+(1-q)qX$ より $\{1-q(1-q)\}X=q$ である。すなわち $$X=\frac{q}{1-q+q^2}$$ である。また $$Y=\frac{q^2}{1-q+q^2}$$ である。

最初の1試合でAが勝つ確率は $q$、Bが勝つ確率は $1-q$ であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_2(q)}& {\displaystyle =qX+(1-q)Y}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =q\cdot \frac{q}{1-q+q^2}+(1-q)\cdot \frac{q^2}{1-q+q^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{q^2+q^2(1-q)}{1-q+q^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{q^2(2-q)}{1-q+q^2}}\end{array}$$である。

(3)

(1) , (2)より $$P_1(q)-P_2(q)=q^2(3-2q)-\frac{q^2(2-q)}{1-q+q^2}$$ である。通分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_1(q)-P_2(q)}& {\displaystyle =\frac{q^2\{(3-2q)(1-q+q^2)-(2-q)\}}{1-q+q^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{q^2\{1-4q+5q^2-2q^3\}}{1-q+q^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{q^2(q-1{)}^2(2q-1)}{1-q+q^2}}\end{array}$$である。 $0<q<1$ において、$q^2>0$、$(q-1{)}^2>0$、また $$1-q+q^2={(q-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}>0$$ である。したがって $P_1(q)-P_2(q)$ の符号は $-(2q-1)$ の符号と同じである。よって $P_1(q)\geqq P_2(q)$ となる条件は $2q-1\leqq 0$ であり、$0<q<1$ と合わせて $0<q\leqq \frac{1}{2}$ である。

ルール1は終了する勝敗列を直接数える。ルール2は最後に初めて $AA$ が現れる列を、開始がAかBかで分けて等比級数として和を取り、最後に2確率の差を因数分解する。

ルール2を勝敗列の等比級数として数える。

(1)

ルール1でAが優勝する勝敗列は $AA,ABA,BAA$ である。よって$$P_1(q)=q^2+2q^2(1-q)=q^2(3-2q)$$である。

(2)

ルール2でAが優勝する列は、最後が初めての $AA$ となり、それ以前は勝者が交互に現れる。
最初がAの列とBの列に分けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_2(q)}& {\displaystyle =q^2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\{q(1-q){\}}^n+(1-q)q^2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\{q(1-q){\}}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{q^2(2-q)}{1-q(1-q)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{q^2(2-q)}{1-q+q^2}}\end{array}$$である。$0<q(1-q)<1$ なので、2つの等比級数は収束する。

(3)

分母 $1-q+q^2$ は常に正であり$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_1(q)-P_2(q)}& {\displaystyle =-\frac{q^2(q-1{)}^2(2q-1)}{1-q+q^2}}\end{array}$$である。$0<q<1$ では $q^2(q-1{)}^2>0$ だから$$P_1(q)\geqq P_2(q)⟺2q-1\leqq 0$$となる。したがって条件は$$0<q\leqq \frac{1}{2}$$である。