九州大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$\overrightarrow{AB}=(4,-4,0),\overrightarrow{AC}=(4,0,4)$$である。したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2=32,\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\mid }}^2=32,\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=16.$$$\mathrm{\angle }BAC=\theta$ とおくと$$\cos \theta =\frac{16}{\sqrt{32}\sqrt{32}}=\frac{1}{2},$$よって $\sin \theta =\sqrt{3}\mathrm{/}2$ である。したがってである。

(2)

平面 $\pi$ の法線ベクトルは $(b,1,c)$ であり、直線 $l$ の方向ベクトルは $\overrightarrow{m}=(-1,1,3)$ である。平面 $\pi$ が直線 $l$ を含むので、まず $(b,1,c)\cdot (-1,1,3)=0$ である。よって $-b+1+3c=0,b=1+3c$ である。

また、直線 $l$ 上の点 $D(1,2,0)$ は平面 $\pi$ 上にある。平面は点 $E(0,a,0)$ を通り、法線ベクトルが $(b,1,c)$ であるから $(b,1,c)\cdot (D-E)=0$ である。すなわち $b+(2-a)=0$ なので $a=b+2=3+3c$ である。したがって である。

(3)

線分 $AC$ 上の点を $$X=A+u(C-A)=(-2+4u,3,4u)(0\leqq u\leqq 1)$$ とおく。$X$ が平面 $\pi$ 上にある条件に、(2)の $a,b$ を代入すると $$(-2+4u)(1+3c)+3-(3+3c)+4cu=0$$ である。これを解くと $$u=\frac{9c+2}{4(4c+1)}$$ である。ただし $4c+1=0$ のときはこの式の分母が0になり、実際に上の方程式は成り立たないので、線分 $AC$ との共有点をもたない。

次に、線分 $BC$ 上の点を $$Y=B+v(C-B)=(2,-1+4v,4v)(0\leqq v\leqq 1)$$ とおくと、$Y$ が平面 $\pi$ 上にある条件は $$2(1+3c)+(-1+4v)-(3+3c)+4cv=0$$ である。よって $$v=\frac{2-3c}{4(c+1)}$$ である。ただし $c+1=0$ のときも線分 $BC$ との共有点をもたない。

平面が線分 $AC$ と線分 $BC$ の両方と共有点をもち、交点を $X,Y$ とすると、切り取られる三角形 $CXY$ は三角形 $CAB$ と相似で、面積比は $$\frac{[CXY]}{[CAB]}=(1-u)(1-v)$$ である。面積を2等分するには $(1-u)(1-v)=\frac{1}{2}$ が必要である。ここで $$1-u=\frac{7c+2}{4(4c+1)},1-v=\frac{7c+2}{4(c+1)}$$ だから、$$\frac{(7c+2{)}^2}{16(4c+1)(c+1)}=\frac{1}{2}$$ となる。整理すると $(7c+2{)}^2=8(4c+1)(c+1)$ すなわち $17c^2-12c-4=0$ である。したがって候補は $$c=\frac{6\pm 2\sqrt{26}}{17}$$ である。

しかし、これらは線分条件を満たさない。まず $$c_1=\frac{6+2\sqrt{26}}{17}$$ のとき、$c_1>-1$ で分母 $4(c_1+1)$ は正であるが、$$2-3c_1=\frac{16-6\sqrt{26}}{17}<0$$ なので $v<0$ である。したがって交点は線分 $BC$ 上にない。

次に $$c_2=\frac{6-2\sqrt{26}}{17}$$ のとき、$4c_2+1>0$ である一方、$$9c_2+2=\frac{88-18\sqrt{26}}{17}<0$$ なので $u<0$ である。したがって交点は線分 $AC$ 上にない。

よって、問題文の条件をすべて同時に満たす $c$ は 存在しない。

(1) は3辺の長さから正三角形と判定する。(2)は平面の方程式へ直線のパラメータ表示を代入し，恒等式の係数を比較する。(3)は平面の左辺を頂点で評価し，線分と交わるための符号条件を先に求めてから，面積二等分で得た候補を範囲から除外する。

(1)
3辺の長さを調べると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{B}^2}& {\displaystyle =4^2+(-4{)}^2=32,}\\ {\displaystyle A{C}^2}& {\displaystyle =4^2+4^2=32,}\\ {\displaystyle B{C}^2}& {\displaystyle =4^2+4^2=32.}\end{array}$$したがって $\mathrm{△}ABC$ は一辺 $4\sqrt{2}$ の正三角形である。よって(2)
平面 $\pi$ の方程式は$$\begin{array}{cccc}& bx+y+cz-a=0& & \text{(1)}\end{array}$$と書ける。直線 $l$ 上の点は$$D+s\overrightarrow{m}=(1-s,2+s,3s)$$である。これを(1)へ代入すると$$(b+2-a)+s(-b+1+3c)=0.$$直線全体が平面上にあるため，これはすべての実数 $s$ で成り立つ。したがって$$b+2-a=0,-b+1+3c=0.$$ゆえに(3)
(2)を(1)へ代入し，左辺を$$F_c(x,y,z)=(1+3c)x+y+cz-(3+3c)$$とおく。頂点での値は$$\begin{array}{cccc}& F_c(A)=-9c-2,F_c(B)=3c-2,F_c(C)=7c+2.& & \text{(2)}\end{array}$$平面が線分 $AC$ と交わるには $F_c(A)F_c(C)\leqq 0$，線分 $BC$ と交わるには $F_c(B)F_c(C)\leqq 0$ が必要十分である。(2)から$$c\leqq -\frac{2}{7}\text{ または }c\geqq -\frac{2}{9},$$かつ$$-\frac{2}{7}\leqq c\leqq \frac{2}{3}\mathrm{.}$$よって両線分と交わり得る範囲は$$\begin{array}{cccc}& c=-\frac{2}{7}\text{または}-\frac{2}{9}\leqq c\leqq \frac{2}{3}\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$$c=-2\mathrm{/}7$ では平面は頂点 $C$ だけで両線分と交わり，切り取る三角形の面積は0なので除く。

交点を $X\in AC,Y\in BC$ とし$$p=\frac{CX}{CA},q=\frac{CY}{CB}$$とおく。$F_c$ は線分上で一次的に変化するから$$p=\frac{F_c(C)}{F_c(C)-F_c(A)}=\frac{7c+2}{4(4c+1)},$$$$q=\frac{F_c(C)}{F_c(C)-F_c(B)}=\frac{7c+2}{4(c+1)}\mathrm{.}$$したがって$$\frac{[CXY]}{[CAB]}=pq\mathrm{.}$$面積を二等分する条件は $pq=1\mathrm{/}2$ であり，$$(7c+2{)}^2=8(4c+1)(c+1)\mathrm{.}$$整理すると$$17c^2-12c-4=0,$$したがって$$\begin{array}{cccc}& c=\frac{6\pm 2\sqrt{26}}{17}\mathrm{.}& & \text{(4)}\end{array}$$正符号の値は $2\mathrm{/}3$ より大きい。また負符号の値は$$-\frac{2}{7}<\frac{6-2\sqrt{26}}{17}<-\frac{2}{9}$$であり，(3)の空白区間に入る。よって(4)のどちらも両線分と交わる条件を満たさない。したがって，条件を満たす $c$ は存在しない。