九州大学 2017年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

座標空間内に点 $A (0, 0, 2)$ ，点 $B (2, 0, 0)$ ，点 $C (0, 0, - 2)$ ，点 $D (0, - 2, 0)$ がある。線分 $A C$ を $1 : 3$ に内分する点を $E$ とし，線分 $A D$ を $1 : 3$ に内分する点を $F$ とする。直線 $B C$ と平面 $x = \frac{3}{2}$ の交点を $G$ とする。直線 $B D$ と平面 $E F G$ の交点を $H$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ の座標をそれぞれ求めよ。

(2) 三角形 $F G H$ の面積を求めよ。

出典：九州大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

解法1

内分点 $E, F$ をまず求め， $G$ は直線 $B C$ をパラメータ表示して $x = 3/2$ を代入する。平面 $E F G$ は3点を代入して満たす一次方程式を求め，直線 $B D$ との交点を $H$ とする。面積は $H$ を基準に $H F$ ， $H G$ を取り，内積公式 $\frac{1}{2} ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} - (u \cdot v)^{2}$ で求める。

解法2

点と平面の座標はパラメータ表示で求める。面積は2辺の外積を直接計算し，その大きさの半分を取る。

解答

解法1

(1)

線分 $A C$ を $1 : 3$ に内分する点 $E$ は， $A$ に近い側にあるので $E = \frac{3 A + C}{4} = (0, 0, 1)$ である。同様に，線分 $A D$ を $1 : 3$ に内分する点 $F$ は $F = \frac{3 A + D}{4} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ である。

次に直線 $B C$ を $(2, 0, 0) + λ {(0, 0, - 2) - (2, 0, 0)} = (2 - 2 λ, 0, - 2 λ)$ と表す。 $x = \frac{3}{2}$ より $2 - 2 λ = \frac{3}{2}$ なので $λ = \frac{1}{4}$ である。よって $G = (\frac{3}{2}, 0, - \frac{1}{2})$ である。

平面 $E F G$ を求める。3点 $E, F, G$ はいずれも $x + y + z = 1$ を満たすので，平面 $E F G$ は $x + y + z = 1$ である。直線 $B D$ を $(2, 0, 0) + μ {(0, - 2, 0) - (2, 0, 0)} = (2 - 2 μ, - 2 μ, 0)$ と表す。これを平面の式に代入すると $2 - 4 μ = 1$ であるから $μ = \frac{1}{4}$ である。したがって $H = (\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}, 0)$ である。

(2)

$H$ を基準にすると

H F = (- \frac{3}{2}, 0, \frac{3}{2}), H G = (0, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

である。したがって

∣ H F ∣^{2} = \frac{9}{2}, ∣ H G ∣^{2} = \frac{1}{2}

であり，内積は $H F \cdot H G = - \frac{3}{4}$ である。よって三角形 $F G H$ の面積は

\frac{1}{2} ∣ H F ∣^{2} ∣ H G ∣^{2} - (H F \cdot H G)^{2}

であり，代入して

\frac{1}{2} \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} - (- \frac{3}{4})^{2} = \frac{1}{2} \frac{27}{16} = \frac{3 3}{8}

である。

解法2

(1)

内分公式から

E = (0, 0, 1), F = (0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) .

直線 $B C$ を $(2 - 2 t, 0, - 2 t)$ とおき $x = 3/2$ を代入すると $t = 1/4$ なので

G = (\frac{3}{2}, 0, - \frac{1}{2}) .

3点 $E, F, G$ を通る平面は $x + y + z = 1$ である。直線 $B D = (2 - 2 s, - 2 s, 0)$ を代入すると $s = 1/4$ だから

H = (\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}, 0) .

(2)

H F = (- \frac{3}{2}, 0, \frac{3}{2}), H G = (0, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) .

外積は

H F \times H G = (- \frac{3}{4}, - \frac{3}{4}, - \frac{3}{4})

で，その大きさは $33 /4$ である。したがって

[△ F G H] = \frac{1}{2} H F \times H G = \frac{3 3}{8} .

九州大学 2017年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

九州大学 2017年度
後期・理系数学後期第3問