九州大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
線分$AC$を$1:3$に内分する点$E$は，$A$に近い側にあるので $$E=\frac{3A+C}{4}=(0,0,1)$$ である。同様に，線分$AD$を$1:3$に内分する点$F$は $$F=\frac{3A+D}{4}=(0,-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$$ である。

次に直線$BC$を $$(2,0,0)+\lambda \{(0,0,-2)-(2,0,0)\}=(2-2\lambda ,0,-2\lambda )$$ と表す。$x=\frac{3}{2}$より $2-2\lambda =\frac{3}{2}$ なので$\lambda =\frac{1}{4}$である。よって $$G=(\frac{3}{2},0,-\frac{1}{2})$$ である。

平面$EFG$を求める。3点$E,F,G$はいずれも $x+y+z=1$ を満たすので，平面$EFG$は $x+y+z=1$ である。直線$BD$を $$(2,0,0)+\mu \{(0,-2,0)-(2,0,0)\}=(2-2\mu ,-2\mu ,0)$$ と表す。これを平面の式に代入すると $2-4\mu =1$ であるから$\mu =\frac{1}{4}$である。したがって $$H=(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},0)$$ である。

(2) $H$を基準にすると$$\overrightarrow{HF}=(-\frac{3}{2},0,\frac{3}{2}),\overrightarrow{HG}=(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$$である。したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{HF}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{9}{2},\mathrm{\mid }\overrightarrow{HG}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1}{2}$$であり，内積は $$\overrightarrow{HF}\cdot \overrightarrow{HG}=-\frac{3}{4}$$ である。よって三角形$FGH$の面積は$$\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{\mid }\overrightarrow{HF}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{HG}{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{HF}\cdot \overrightarrow{HG}{)}^2}$$であり，代入して$$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{2}-{(-\frac{3}{4})}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$である。

点と平面の座標はパラメータ表示で求める。面積は2辺の外積を直接計算し，その大きさの半分を取る。

(1) 内分公式から$$E=(0,0,1),F=(0,-\frac{1}{2},\frac{3}{2})\mathrm{.}$$直線 $BC$ を $(2-2t,0,-2t)$ とおき $x=3\mathrm{/}2$ を代入すると $t=1\mathrm{/}4$ なので$$G=(\frac{3}{2},0,-\frac{1}{2})\mathrm{.}$$3点 $E,F,G$ を通る平面は $x+y+z=1$ である。直線 $BD=(2-2s,-2s,0)$ を代入すると $s=1\mathrm{/}4$ だから$$H=(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},0)\mathrm{.}$$(2)$$\overrightarrow{HF}=(-\frac{3}{2},0,\frac{3}{2}),\overrightarrow{HG}=(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})\mathrm{.}$$外積は$$\overrightarrow{HF}\times \overrightarrow{HG}=(-\frac{3}{4},-\frac{3}{4},-\frac{3}{4})$$で，その大きさは $3\sqrt{3}\mathrm{/}4$ である。したがって$$[\mathrm{△}FGH]=\frac{1}{2}\mid \overrightarrow{HF}\times \overrightarrow{HG}\mid =\frac{3\sqrt{3}}{8}\mathrm{.}$$