九州大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

直線 $l:y=a(x+4)$ は点 $-4,0)$ を通る。$C_1$ 上の点 $(x,-x^2+2x)$ と $-4,0)$ を結ぶ直線の傾きは $$g(x)=\frac{-x^2+2x}{x+4}=\frac{x(2-x)}{x+4}$$ である。ここで $0\leqq x\leqq 2$ である。

端点では $g(0)=g(2)=0$ であり、内部では $g(x)>0$ である。したがって $a=0$ なら端点 $x=0,2$ の2点で交わる。また $a>0$ では、水平線 $y=a$ が $g(x)$ のグラフと $0<x<2$ で異なる2点で交わる条件を調べればよい。

微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\frac{(2-2x)(x+4)-(2x-x^2)}{(x+4{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{-x^2-8x+8}{(x+4{)}^2}}\end{array}$$である。よって $g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $x^2+8x-8=0$ であり、$0<x<2$ にある解は $x=-4+2\sqrt{6}$ である。この点で $g(x)$ は最大となる。最大値は $$g(-4+2\sqrt{6})=10-4\sqrt{6}$$ である。

したがって、異なる2つの共有点をもつ条件は $0\leqq a<10-4\sqrt{6}$ である。

(2)

共有点の $x$ 座標は $-x^2+2x=a(x+4)$ すなわち $x^2+(a-2)x+4a=0$ の2解である。この2次方程式の判別式を $D=(a-2{)}^2-16a=a^2-20a+4$ とおく。2解を $\alpha <\beta$ とすると、$$\beta -\alpha =\sqrt{D}$$ である。

2交点の間では $C_1$ が直線 $l$ より上にある。実際、差は $$(-x^2+2x)-a(x+4)=-(x^2+(a-2)x+4a)=(x-\alpha )(\beta -x)$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}=\frac{D^{3\mathrm{/}2}}{6}}\end{array}$$である。よって $$S_1=\frac{(a^2-20a+4{)}^{3\mathrm{/}2}}{6}$$ である。

(3) $a$ を $0\leqq a\leqq 1\mathrm{/}5$ の範囲で考えると、$S_1$ も $S_2$ も $a$ に対して連続に変化する。したがって $S_1-S_2$ の符号変化を調べればよい。

まず $a=0$ のとき、直線 $l$ は $x$ 軸である。よって $S_2=0$ であり、(2)の式から $$S_1=\frac{4^{3\mathrm{/}2}}{6}=\frac{4}{3}$$ である。したがって $S_1-S_2>0$ である。

次に $a=1\mathrm{/}5$ のときを調べる。(2)より $$D={\left(\frac{1}{5}\right)}^2-20\cdot \frac{1}{5}+4=\frac{1}{25}$$ だから $$S_1=\frac{(1\mathrm{/}25{)}^{3\mathrm{/}2}}{6}=\frac{1}{750}$$ である。

一方、$C_2:y=-x^2-2x$ と直線 $y=(x+4)\mathrm{/}5$ の交点は $$-x^2-2x=\frac{x+4}{5}$$ すなわち $5x^2+11x+4=0$ の解であり、$$x=\frac{-11\pm \sqrt{41}}{10}$$ である。$x$ 軸と $C_2$ で囲まれる全体の面積は $${\int }_{-2}^0(-x^2-2x)dx=\frac{4}{3}$$ である。直線より上にある部分は、2交点の間で $C_2$ と直線に囲まれる部分であり、その面積は根の間隔 $\frac{\sqrt{41}}{5}$ を用いて $$\frac{(\sqrt{41}\mathrm{/}5{)}^3}{6}=\frac{41\sqrt{41}}{750}$$ である。したがって $$S_2=\frac{4}{3}-\frac{41\sqrt{41}}{750}$$ である。

ここで $$\frac{4}{3}-\frac{41\sqrt{41}}{750}>\frac{1}{750}$$ である。実際、これは $$999>41\sqrt{41}$$ と同値であり、両辺は正で、2乗すると $998001>68921$ であるから正しい。よって $a=1\mathrm{/}5$ では $S_1-S_2<0$ である。

以上より、連続性と中間値の定理から、$0<a<\frac{1}{5}$ の範囲に $S_1=S_2$ を満たす実数 $a$ が存在する。

たとえば $a=0.12$ のときの位置関係は次のようになる。左側に $C_2$、右側に $C_1$ があり、直線 $l$ は両側を横切る。

共有点の2次方程式について、判別式だけでなく根の和・積から2根が $[0,2]$ に入る条件を直接示す。面積を根の間隔で表し、端点での面積差を使って存在証明まで完結させる。

共有点を与える2次方程式の根を直接調べる。

(1)

$C_1$ と $l$ の共有点の $x$ 座標は$$h(x)=x^2+(a-2)x+4a=0$$の解である。判別式は$$D=a^2-20a+4$$である。

$a=0$ のとき $h(x)=x(x-2)$ だから、$x=0,2$ の2点で交わる。$a>0$ のとき、2根の積は $4a>0$、和は $2-a$ である。2根が $0<x<2$ に入るためには、$a<2$ のもとで $D>0$ であればよい。実際、2根は正で、その和が $2$ より小さいので各根は $2$ より小さい。

$D>0$ は$$a<10-4\sqrt{6}\text{または}a>10+4\sqrt{6}$$である。$0<a<2$ と合わせ、$a=0$ も含めると$$0\leqq a<10-4\sqrt{6}$$である。

(2)

2根を $\alpha <\beta$ とすると$$\beta -\alpha =\sqrt{D}$$である。また $C_1$ と $l$ の上下差は $(x-\alpha )(\beta -x)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(a^2-20a+4{)}^{3\mathrm{/}2}}{6}}\end{array}$$である。

(3)

$F(a)=S_1(a)-S_2(a)$ とおく。領域の境界は $0\leqq a\leqq 1\mathrm{/}5$ で連続に動くので、$F$ はこの区間で連続である。

$a=0$ では $S_1=4\mathrm{/}3$, $S_2=0$ だから $F(0)>0$ である。一方、$a=1\mathrm{/}5$ では$$S_1=\frac{1}{750},S_2=\frac{4}{3}-\frac{41\sqrt{41}}{750}$$であり、$S_2>S_1$ だから $F(1\mathrm{/}5)<0$ である。したがって中間値の定理により$$0<a<\frac{1}{5}$$に $F(a)=0$、すなわち $S_1=S_2$ を満たす実数 $a$ が存在する。