九州大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) 交点は$$(a+1)x=a{x}^2$$より$$x=0,x=\frac{a+1}{a}$$である。その間では$$(a+1)x-a{x}^2=x(a+1-ax)>0$$だから直線が上、放物線が下にある。形状は次の通りである。

(2) 面積は$$S={\int }_0^{(a+1)\mathrm{/}a}\{(a+1)x-a{x}^2\}dx$$である。よって$$S=\frac{(a+1{)}^3}{6a^2}$$となる。微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{(a+1{)}^2(a-2)}{6a^3}$$だから、$S$ は $0<a<2$ で減少し、$a>2$ で増加する。したがって$$a=2,S_{\min }=\frac{9}{8}$$である。

(3) $a=2$ のとき領域は$$0\leqq x\leqq \frac{3}{2},2x^2\leqq y\leqq 3x$$であり、回転軸は $y=3x$ である。軸方向の座標を$$s=\frac{x+3y}{\sqrt{10}}$$とする。放物線上の点 $(x,2x^2)$ から軸までの距離は$$R(x)=\frac{3x-2x^2}{\sqrt{10}}$$で、軸方向の座標は$$s(x)=\frac{x+6x^2}{\sqrt{10}},\frac{ds}{dx}=\frac{1+12x}{\sqrt{10}}>0$$である。したがって軸に垂直な断面は重複なく円板となり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{3\mathrm{/}2}R(x{)}^{2}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{10\sqrt{10}}{\int }_0^{3\mathrm{/}2}(3x-2x^2{)}^2(1+12x)dx}\end{array}$$である。ここで$${\int }_0^{3\mathrm{/}2}(3x-2x^2{)}^2(1+12x)dx=\frac{81}{8}$$だから$$V=\frac{81\pi }{80\sqrt{10}}$$となる。

(1) は交点と差の符号で領域を決める。(2) は$$a+1=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+1$$に相加平均・相乗平均を適用して微分せずに最小化する。(3) は領域内の微小面積を回転軸まわりの薄い円筒殻として積分する。

(1) 交点は$$(0,0),(\frac{a+1}{a},\frac{(a+1{)}^2}{a})$$であり、その間では$$f(x)-g(x)=x(a+1-ax)>0$$である。したがって解法1の図のように、直線を上側、放物線を下側とする領域になる。

(2) 積分から$$S=\frac{(a+1{)}^3}{6a^2}$$である。一方、$$\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+1=a+1$$に相加平均・相乗平均を用いると$$\frac{a+1}{3}\geqq \sqrt[3]{\frac{a^2}{4}}$$だから$$\frac{(a+1{)}^3}{a^2}\geqq \frac{27}{4}$$である。等号は $a\mathrm{/}2=1$、すなわち $a=2$ のときに成り立つ。よって$$a=2,S_{\min }=\frac{9}{8}$$となる。

(3) $a=2$ の領域では、点 $(x,y)$ から軸 $y=3x$ までの距離は$$\frac{3x-y}{\sqrt{10}}$$である。軸に平行な微小面積 $dA$ を回転すると、半径がこの距離の薄い円筒殻を作る。したがって$$V=\frac{2\pi }{\sqrt{10}}{\int }_0^{3\mathrm{/}2}{\int }_{2x^2}^{3x}(3x-y)dydx$$である。内側から積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{3\mathrm{/}2}{\int }_{2x^2}^{3x}(3x-y)dydx}& {\displaystyle ={\int }_0^{3\mathrm{/}2}(\frac{9}{2}{x}^2-6x^3+2x^4)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{81}{160}}\end{array}$$となる。よって$$V=\frac{2\pi }{\sqrt{10}}\cdot \frac{81}{160}=\frac{81\pi }{80\sqrt{10}}$$である。