九州大学 2018年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

2つの関数 $f (x)$ ， $g (x)$ をそれぞれ $f (x) = (a + 1) x$ ， $g (x) = a x^{2}$ とする。ただし， $a$ は正の実数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $y = f (x)$ のグラフと $y = g (x)$ のグラフで囲まれた図形を座標平面上に図示せよ。

(2) $y = f (x)$ のグラフと $y = g (x)$ のグラフで囲まれた図形の面積 $S$ を $a$ の式で表せ。また，面積 $S$ が最小となる $a$ と，そのときの面積を求めよ。

(3) $y = f (x)$ のグラフと $y = g (x)$ のグラフで囲まれた図形の面積 $S$ が最小となるとき，この図形を直線 $y = f (x)$ の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

出典：九州大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

解法1

交点を求めて直線と放物線の上下関係を図示し、面積を積分する。面積は $a$ で微分して最小化する。最小時 $a = 2$ の回転体は、回転軸方向の座標と軸からの距離を導入し、軸に垂直な円板の体積を積分する。

解法2

(1) は交点と差の符号で領域を決める。(2) は

a + 1 = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + 1

に相加平均・相乗平均を適用して微分せずに最小化する。(3) は領域内の微小面積を回転軸まわりの薄い円筒殻として積分する。

解答

解法1

(1)

交点は

(a + 1) x = a x^{2}

より

x = 0, x = \frac{a + 1}{a}

である。その間では

(a + 1) x - a x^{2} = x (a + 1 - a x) > 0

だから直線が上、放物線が下にある。形状は次の通りである。

(2)

面積は

S = \int_{0}^{(a + 1) / a} {(a + 1) x - a x^{2}} d x

である。よって

S = \frac{( a + 1 ) ^{3}}{6 a ^{2}}

となる。微分すると

S^{'} (a) = \frac{( a + 1 ) ^{2} ( a - 2 )}{6 a ^{3}}

だから、 $S$ は $0 < a < 2$ で減少し、 $a > 2$ で増加する。したがって

a = 2, S_{m i n} = \frac{9}{8}

である。

(3)

$a = 2$ のとき領域は

0 ≦ x ≦ \frac{3}{2}, 2 x^{2} ≦ y ≦ 3 x

であり、回転軸は $y = 3 x$ である。軸方向の座標を

s = \frac{x + 3 y}{10}

とする。放物線上の点 $(x, 2 x^{2})$ から軸までの距離は

R (x) = \frac{3 x - 2 x ^{2}}{10}

で、軸方向の座標は

s (x) = \frac{x + 6 x ^{2}}{10}, \frac{d s}{d x} = \frac{1 + 12 x}{10} > 0

である。したがって軸に垂直な断面は重複なく円板となり、

V = π \int_{0}^{3/2} R (x)^{2} d s = \frac{π}{10 10} \int_{0}^{3/2} (3 x - 2 x^{2})^{2} (1 + 12 x) d x

である。ここで

\int_{0}^{3/2} (3 x - 2 x^{2})^{2} (1 + 12 x) d x = \frac{81}{8}

だから

V = \frac{81 π}{80 10}

となる。

解法2

(1)

交点は

(0, 0), (\frac{a + 1}{a}, \frac{( a + 1 ) ^{2}}{a})

であり、その間では

f (x) - g (x) = x (a + 1 - a x) > 0

である。したがって解法1の図のように、直線を上側、放物線を下側とする領域になる。

(2)

積分から

S = \frac{( a + 1 ) ^{3}}{6 a ^{2}}

である。一方、

\frac{a}{2} + \frac{a}{2} + 1 = a + 1

に相加平均・相乗平均を用いると

\frac{a + 1}{3} ≧ 3 \frac{a ^{2}}{4}

だから

\frac{( a + 1 ) ^{3}}{a ^{2}} ≧ \frac{27}{4}

である。等号は $a /2 = 1$ 、すなわち $a = 2$ のときに成り立つ。よって

a = 2, S_{m i n} = \frac{9}{8}

となる。

(3)

$a = 2$ の領域では、点 $(x, y)$ から軸 $y = 3 x$ までの距離は

\frac{3 x - y}{10}

である。軸に平行な微小面積 $d A$ を回転すると、半径がこの距離の薄い円筒殻を作る。したがって

V = \frac{2 π}{10} \int_{0}^{3/2} \int_{2 x^{2}}^{3 x} (3 x - y) d y d x

である。内側から積分すると

\int_{0}^{3/2} \int_{2 x^{2}}^{3 x} (3 x - y) d y d x = \int_{0}^{3/2} (\frac{9}{2} x^{2} - 6 x^{3} + 2 x^{4}) d x = \frac{81}{160}

となる。よって

V = \frac{2 π}{10} \cdot \frac{81}{160} = \frac{81 π}{80 10}

である。

九州大学 2018年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

九州大学 2018年度
後期・理系数学後期第5問