九州大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

$y=t^2$ であるから、同じ高さにある点は $t=s$ と $t=-s$ に対応する。ただし $0\leqq s\leqq 2\pi$ である。この2点の $x$ 座標は $$x=\sin s,x=\sin (-s)=-\sin s$$ である。したがって高さ $y=s^2$ における横幅は $$\mathrm{\mid }\sin s-(-\sin s)\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }\sin s\mathrm{\mid }$$ である。

また $y=s^2,dy=2sds$ である。領域が複数に分かれていても、各高さで曲線に挟まれる横幅を足し合わせれば総面積になるので、求める面積 $S$ は$$S={\int }_0^{(2\pi {)}^2}2\mathrm{\mid }\sin \sqrt{y}\mathrm{\mid }dy={\int }_0^{2\pi }2\mathrm{\mid }\sin s\mathrm{\mid }\cdot 2sds=4{\int }_0^{2\pi }s\mathrm{\mid }\sin s\mathrm{\mid }ds$$である。

$0\leqq s\leqq \pi$ では $\sin s\geqq 0$、$\pi \leqq s\leqq 2\pi$ では $\sin s\leqq 0$ だから $$S=4({\int }_0^{\pi }s\sin sds-{\int }_{\pi }^{2\pi }s\sin sds)$$ である。部分積分により $$\int s\sin sds=-s\cos s+\sin s$$ だから $${\int }_0^{\pi }s\sin sds=\pi$$ である。また$$-{\int }_{\pi }^{2\pi }s\sin sds={[s\cos s-\sin s]}_{\pi }^{2\pi }=2\pi -(-\pi )=3\pi$$である。よって である。

曲線の自己交点で内側と外側の2領域に分け，通常の面積公式 $\int (\text{上側}-\text{下側})dx$ を各境界上で媒介変数積分へ直す。横幅を積分する解法とは異なり，$dx=\cos tdt$ を使って各閉曲線の面積を求める。

同じ点を与える $t$ と $-t$ を比べると，$y=t^2$ は等しく，$x$ が等しくなるのは$$\sin t=-\sin t,$$すなわち $\sin t=0$ のときである。したがって曲線は$$t=-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi$$で $y$ 軸上に戻り，内側と外側の2つの閉領域を作る。

閉曲線について，通常の面積$$\int (\text{上側の }y-\text{下側の }y)dx$$を境界の向きに沿ってまとめると，面積は$$\mid -\int ydx\mid$$と書ける。ここでは$$y=t^2,dx=\cos tdt\mathrm{.}$$内側の領域の境界は $-\pi \leqq t\leqq \pi$ で1周される。よってその面積 $S_1$ は$$S_1=\mid -{\int }_{-\pi }^{\pi }{t}^2\cos tdt\mid \mathrm{.}$$被積分関数は偶関数であり，$$\int t^2\cos tdt=t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t$$だから$${\int }_{-\pi }^{\pi }{t}^2\cos tdt=2{\int }_0^{\pi }{t}^2\cos tdt=-4\pi \mathrm{.}$$したがって$$S_1=4\pi \mathrm{.}$$外側の領域の境界は$$-2\pi \leqq t\leqq -\pi ,\pi \leqq t\leqq 2\pi$$の2区間を合わせたものである。偶関数性より面積 $S_2$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2}& {\displaystyle =\mid -2{\int }_{\pi }^{2\pi }{t}^2\cos tdt\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid -2\{4\pi -(-2\pi )\}\mid =12\pi \mathrm{.}}\end{array}$$したがって総面積はである。