九州大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $x=\pi \mathrm{/}2-t$ と置くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n}xdx}& {\displaystyle ={\int }_{\pi \mathrm{/}2}^0{\cos }^{n}t(-dt)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{n}tdt}\end{array}$$である。

(2) $$d({\cos }^{2n}x)=-2n\sin x{\cos }^{2n-1}xdx$$だから$$I_n=-{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}xd({\cos }^{2n}x)$$と書ける。部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_n}& {\displaystyle =-{\left[x{\cos }^{2n}x\right]}_0^{\pi \mathrm{/}2}+{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{2n}xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2n}xdx}\end{array}$$となる。最後に (1) を用いた。

(3) 積の微分と ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dx}(\cos x{\sin }^{n-1}x)}& {\displaystyle =-{\sin }^{n}x+(n-1){\cos }^{2}x{\sin }^{n-2}x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-1){\sin }^{n-2}x-n{\sin }^{n}x}\end{array}$$である。

(4) (3) の $n$ を $2n$ に置き換え、$0$ から $\pi \mathrm{/}2$ まで積分する。境界値は両端で0なので$$0=(2n-1)I_{n-1}-2n{I}_n$$となる。よって$$I_n=\frac{2n-1}{2n}{I}_{n-1}$$である。

(5) $$I_1={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{4}$$であり、漸化式を繰り返すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_n}& {\displaystyle =\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\cdot \frac{\pi }{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{4^n}\cdot \frac{\pi }{2}}\end{array}$$を得る。

(1) (2) で $I_n$ を偶数乗の標準積分へ直すところまでは同じ。(4) では指定された導関数を介さず、${\sin }^{2n}x$ に直接部分積分を行って Wallis 型の漸化式を導く。(5) は二重階乗から階乗へ整理する。

(1) 置換 $t=\pi \mathrm{/}2-x$ により$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{n}tdt$$である。

(2) 定義式で部分積分すると境界項が0になり、$$I_n={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{2n}xdx={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2n}xdx$$を得る。

(3) 直接微分して$$\frac{d}{dx}(\cos x{\sin }^{n-1}x)=(n-1){\sin }^{n-2}x-n{\sin }^{n}x$$である。

(4) $$I_n={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2n-1}x\sin xdx$$に対して部分積分を行う。$u={\sin }^{2n-1}x$、$dv=\sin xdx$ とすると、境界項は0で$$I_n=(2n-1){\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2n-2}x{\cos }^{2}xdx$$となる。${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ より$$I_n=(2n-1)(I_{n-1}-I_n)$$だから$$I_n=\frac{2n-1}{2n}{I}_{n-1}$$である。

(5) $I_0=\pi \mathrm{/}2$ と見れば$$I_n=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\cdot \frac{\pi }{2}$$である。ここで$$2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)=2^{n}n!,1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$$だから$$I_n=\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{4^n}\cdot \frac{\pi }{2}$$となる。