九州大学 2018年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

次で定義される数列 ${I_{n}}$ を考える。

I_{n} = 2 n \int_{0}^{\frac{π}{2}} x sin x cos^{2 n - 1} x d x (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

以下の問いに答えよ。

(1)次の等式が成り立つことを証明せよ。

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} x d x (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

(2)数列 ${I_{n}}$ が次の式を満たすことを証明せよ。

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2 n} x d x (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

(3) $\frac{d}{d x} (cos x sin^{n - 1} x)$ を $sin x$ と $n$ を用いて表せ。

(4)数列 ${I_{n}}$ が次の漸化式を満たすことを証明せよ。

I_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n} I_{n - 1} (n = 2, 3, 4, \dots\dots)

(5)数列 ${I_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：九州大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

解法1

(1) は $x = π /2 - t$ の置換で $sin$ と $cos$ を入れ替える。(2) は $d (cos^{2 n} x)$ を用いる部分積分。(3)(4) は指定された導関数を積分して漸化式を作り、(5) で初項から積を展開する。

解法2

(1)(2) で $I_{n}$ を偶数乗の標準積分へ直すところまでは同じ。(4) では指定された導関数を介さず、 $sin^{2 n} x$ に直接部分積分を行って Wallis 型の漸化式を導く。(5) は二重階乗から階乗へ整理する。

解答

解法1

(1)

$x = π /2 - t$ と置くと

\int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x = \int_{π /2}^{0} cos^{n} t (- d t) = \int_{0}^{π /2} cos^{n} t d t

である。

(2)

d (cos^{2 n} x) = - 2 n sin x cos^{2 n - 1} x d x

だから

I_{n} = - \int_{0}^{π /2} x d (cos^{2 n} x)

と書ける。部分積分により

I_{n} = - [x cos^{2 n} x]_{0}^{π /2} + \int_{0}^{π /2} cos^{2 n} x d x = \int_{0}^{π /2} sin^{2 n} x d x

となる。最後に (1) を用いた。

(3)

積の微分と $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ から

\frac{d}{d x} (cos x sin^{n - 1} x) = - sin^{n} x + (n - 1) cos^{2} x sin^{n - 2} x = (n - 1) sin^{n - 2} x - n sin^{n} x

である。

(4)

(3) の $n$ を $2 n$ に置き換え、 $0$ から $π /2$ まで積分する。境界値は両端で0なので

0 = (2 n - 1) I_{n - 1} - 2 n I_{n}

となる。よって

I_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n} I_{n - 1}

である。

(5)

I_{1} = \int_{0}^{π /2} sin^{2} x d x = \frac{π}{4}

であり、漸化式を繰り返すと

I_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots ( 2 n - 1 )}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots ( 2 n )} \cdot \frac{π}{2} = \frac{_{2 n} C _{n}}{4 ^{n}} \cdot \frac{π}{2}

を得る。

解法2

(1)

置換 $t = π /2 - x$ により

\int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x = \int_{0}^{π /2} cos^{n} t d t

である。

(2)

定義式で部分積分すると境界項が0になり、

I_{n} = \int_{0}^{π /2} cos^{2 n} x d x = \int_{0}^{π /2} sin^{2 n} x d x

を得る。

(3)

直接微分して

\frac{d}{d x} (cos x sin^{n - 1} x) = (n - 1) sin^{n - 2} x - n sin^{n} x

である。

(4)

I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{2 n - 1} x sin x d x

に対して部分積分を行う。 $u = sin^{2 n - 1} x$ 、 $d v = sin x d x$ とすると、境界項は0で

I_{n} = (2 n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{2 n - 2} x cos^{2} x d x

となる。 $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ より

I_{n} = (2 n - 1) (I_{n - 1} - I_{n})

だから

I_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n} I_{n - 1}

である。

(5)

$I_{0} = π /2$ と見れば

I_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots ( 2 n - 1 )}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots ( 2 n )} \cdot \frac{π}{2}

である。ここで

2 \cdot 4 \cdot 6 \dots (2 n) = 2^{n} n!, 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 n - 1) = \frac{( 2 n )!}{2 ^{n} n !}

だから

I_{n} = \frac{( 2 n )!}{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}} \cdot \frac{π}{2} = \frac{_{2 n} C _{n}}{4 ^{n}} \cdot \frac{π}{2}

となる。

九州大学 2018年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

九州大学 2018年度
後期・理系数学後期第1問