九州大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) 時刻 $t$ の中心は $(art,r)$ である。中心から見たPの初期位置は $(0,-r)$ であり、これを時計回りに角 $t$ だけ回転すると $(-r\sin t,-r\cos t)$ になる。したがって$$x(t)=r(at-\sin t),y(t)=r(1-\cos t)$$である。

(2)

(i) $a=1$ のとき$$x^{\mathrm{\prime }}(t)=r(1-\cos t)\geqq 0$$だから、$x(t)$ は $0\leqq t\leqq 2\pi$ で単調に増加する。また $0\leqq 1-\cos t\leqq 2$ である。よって$$x_{\min }=0,x_{\max }=2\pi r,y_{\min }=0,y_{\max }=2r$$である。$y=0$ となるのは $t=0,2\pi$ なので、$x$ 軸との共有点の $x$ 座標は $0,2\pi r$ である。

(ii) $a=1\mathrm{/}2$ のとき$$x^{\mathrm{\prime }}(t)=r(\frac{1}{2}-\cos t)$$であり、$x^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ となるのは $t=\pi \mathrm{/}3,5\pi \mathrm{/}3$ である。符号を調べると、前者で最小、後者で最大をとる。したがって$$x_{\min }=r(\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}),x_{\max }=r(\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2})$$である。$y(t)$ は(i)と同じなので$$y_{\min }=0,y_{\max }=2r$$である。$x$ 軸との共有点の $x$ 座標は、$t=0,2\pi$ を代入して $0,\pi r$ である。

(3) $a=1\mathrm{/}2$ の曲線を $t=0$ から $2\pi$ までたどり、$x$ 軸上を始点まで戻ると閉曲線になる。$x$ 軸上では $y=0$ だから、囲まれる面積は$$S=\mid {\int }_0^{2\pi }y(t)x^{\mathrm{\prime }}(t)dt\mid$$である。ここで$$y(t)=r(1-\cos t),x^{\mathrm{\prime }}(t)=r(\frac{1}{2}-\cos t)$$なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =r^2\mid {\int }_0^{2\pi }(1-\cos t)(\frac{1}{2}-\cos t)dt\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r^2\mid {\int }_0^{2\pi }(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cos t+{\cos }^{2}t)dt\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r^2\mathrm{\mid }\pi +0+\pi \mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi r^2}\end{array}$$である。