九州大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$f(x)=\frac{1}{x(\log x{)}^2}$$ とおく。$x>1$ では $\log x>0$ である。積の形を使って $$f(x)=x^{-1}(\log x{)}^{-2}$$ と見ると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =-x^{-2}(\log x{)}^{-2}+x^{-1}\cdot (-2)(\log x{)}^{-3}\cdot \frac{1}{x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{x^2(\log x{)}^2}-\frac{2}{x^2(\log x{)}^3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{\log x+2}{x^2(\log x{)}^3}}\end{array}$$である。$x>1$ では分母は正で、$\log x+2>0$ であるから $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。したがって $f(x)$ は $x>1$ において単調に減少する。

(2) $u=\log x$ とおくと $du=\frac{1}{x}dx$ である。したがって $$\int \frac{1}{x(\log x{)}^2}dx=\int u^{-2}du=-u^{-1}+C$$ である。よって $$\int \frac{1}{x(\log x{)}^2}dx=-\frac{1}{\log x}+C$$ である。

(3)

(1) より、関数 $f(x)=1\mathrm{/}\{x(\log x{)}^2\}$ は $x>1$ で単調に減少する。したがって $k\geqq 3$ に対して、$k-1\leqq x\leqq k$ なら $f(x)\geqq f(k)$ である。しかも区間の内部では厳密に大きいので、$$f(k)<{\int }_{k-1}^{k}f(x)dx$$ が成り立つ。すなわち $$\frac{1}{k(\log k{)}^2}<{\int }_{k-1}^k\frac{dx}{x(\log x{)}^2}$$ である。

これを $k=3,4,\dots ,n$ について足し合わせると $$\sum _{k=3}^n\frac{1}{k(\log k{)}^2}<{\int }_2^n\frac{dx}{x(\log x{)}^2}$$ である。(2)より右辺は $${[-\frac{1}{\log x}]}_2^n=\frac{1}{\log 2}-\frac{1}{\log n}$$ である。$n\geqq 3$ なので $\log n>0$ であり、$$\frac{1}{\log 2}-\frac{1}{\log n}<\frac{1}{\log 2}$$ である。したがって $$\sum _{k=3}^n\frac{1}{k(\log k{)}^2}<\frac{1}{\log 2}$$ が示された。