九州大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$A=(0,0)$，$B=(2,0)$，$C=(0,1)$ とおく。この三角形の面積は $1$ であり、内分比と面積比はこの座標化で変わらない。内分点は$$D=(\frac{4}{3},0),E=(2(1-t),t),F=(0,\frac{3}{4})$$である。

(1)

$AD:DB=2:1$，$BE:EC=t:(1-t)$，$CF:FA=1:3$ である。3直線 $AE$，$BF$，$CD$ が1点で交わるためのCevaの条件は $$\frac{AD}{DB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=1$$ であるから、$$2\cdot \frac{t}{1-t}\cdot \frac{1}{3}=1$$ となる。これを解いて $2t=3(1-t),5t=3$ より である。

(2)

$P$ は $AE$ 上にあるので、$AP=kAE$ とおくと $P=(2k(1-t),kt)$ である。また $P$ は $BF$ 上にもあるから、ある実数 $s$ を用いて $$P=B+s(F-B)=(2-2s,\frac{3}{4}s)$$ と表せる。座標を比較すると $$2k(1-t)=2-2s,kt=\frac{3}{4}s$$ である。第1式から $s=1-k(1-t)$ であり、これを第2式に代入して $kt=\frac{3}{4}\{1-k(1-t)\}$ すなわち $$4kt=3-3k+3kt,k(t+3)=3$$ を得る。したがって である。

次に $R$ は $CD$ 上にあるので、$CR=lCD$ とおくと $$R=C+l(D-C)=(\frac{4l}{3},1-l)$$ である。また $R$ は $AE$ 上にもあるから、ある実数 $u$ を用いて $R=uE=(2u(1-t),ut)$ と表せる。座標を比較して $$\frac{4l}{3}=2u(1-t),1-l=ut$$ を得る。第2式から $u=(1-l)\mathrm{/}t$ であり、これを第1式に代入すると $$\frac{4l}{3}=2\frac{1-l}{t}(1-t)$$ である。よって $$4lt=6(1-l)(1-t),l(6-2t)=6(1-t)$$ となるから である。

(3)

$Q$ は $BF$ と $CD$ の交点である。$BF$ 上で $Q=(2-2s,\frac{3}{4}s)$ とおき、$CD$ 上で $$Q=(\frac{4u}{3},1-u)$$ とおく。座標を比較すると $$\frac{4u}{3}=2-2s,1-u=\frac{3}{4}s$$ である。第2式から $s=\frac{4}{3}(1-u)$ であり、これを第1式に代入して $$\frac{4u}{3}=2-\frac{8}{3}(1-u)$$ より $$4u=-2+8u,u=\frac{1}{2}$$ を得る。したがって $$Q=(\frac{2}{3},\frac{1}{2})$$ である。三角形 $BCQ$ の面積は$$\frac{1}{2}\mid \det \left(\begin{array}{cc}-2& -\frac{4}{3}\\ 1& \frac{1}{2}\end{array}\right)\mid =\frac{1}{2}\mid -1+\frac{4}{3}\mid =\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mn\; mathvariant="bold">6</mn></mfrac>}$$である。

(4)

(2) より$$P=(\frac{6(1-t)}{t+3},\frac{3t}{t+3}),R=(\frac{4(1-t)}{3-t},\frac{2t}{3-t})$$であり、(3)より $Q=(2\mathrm{/}3,1\mathrm{/}2)$ である。したがって $$\mathrm{△}PQR=\frac{1}{2}\mid \det (Q-P,R-P)\mid$$ である。差を代入して分母を $(t+3)(3-t)$ にそろえると $$\frac{1}{2}\det (Q-P,R-P)=\frac{(3-5t{)}^2}{6(9-t^2)}$$ となる。いま $0<t<t_0=3\mathrm{/}5$ なので分母 $9-t^2$ は正であり、面積は である。$t=3\mathrm{/}5$ で3直線が共点となり、$P,Q,R$ が一致して面積が0になることも、この式と一致している。

三角形 $ABC$ に関する正規化重心座標を使う。3本の線分は重心座標の成分比だけで表せるため，共点条件と各交点を連立一次式で求められる。面積比は重心座標の1成分または3点の座標行列式から直接計算する。

点 $X$ を$$X={\lambda }_{A}A+{\lambda }_{B}B+{\lambda }_{C}C,{\lambda }_A+{\lambda }_B+{\lambda }_C=1$$と表し，$({\lambda }_A,{\lambda }_B,{\lambda }_C)$ を $X$ の重心座標とする。内分比から$$D=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},0),E=(0,1-t,t),F=(\frac{1}{4},0,\frac{3}{4})$$である。したがって3直線は$$\begin{array}{cccc}& AE:t{\lambda }_B=(1-t){\lambda }_C,BF:{\lambda }_C=3{\lambda }_A,CD:{\lambda }_B=2{\lambda }_A& & \text{(1)}\end{array}$$と表せる。

(1)
3式を同時に満たす点が存在するには，(1)より$$2t{\lambda }_A=3(1-t){\lambda }_A$$が必要である。三角形内の点なので ${\lambda }_A\text{neqq}0$ であり，$$2t=3(1-t)$$を得る。よってである。

(2)
$P=AE\cap BF$ について(1)と成分和1を用いると$$P=(\frac{t}{t+3},\frac{3(1-t)}{t+3},\frac{3t}{t+3})\mathrm{.}$$一方，$P=(1-k)A+kE$ だから $P=(1-k,k(1-t),kt)$ である。第3成分を比べてである。

同様に $R=CD\cap AE$ は$$R=(\frac{1-t}{3-t},\frac{2(1-t)}{3-t},\frac{2t}{3-t})\mathrm{.}$$また $R=(1-l)C+lD$ の重心座標は$$(\frac{l}{3},\frac{2l}{3},1-l)$$だからである。

(3)
$Q=BF\cap CD$ では$${\lambda }_C=3{\lambda }_A,{\lambda }_B=2{\lambda }_A\mathrm{.}$$成分和が1なので$$Q=(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{2})\mathrm{.}$$重心座標の第1成分は $[BCQ]\mathrm{/}[BCA]$ に等しい。問題では $[ABC]=1$ だからである。

(4)
三角形内の3点の重心座標を行に並べた行列式の絶対値は，もとの三角形に対する面積比に等しい。よって$0<t<3\mathrm{/}5$ では分母は正であるから，絶対値の処理にも問題はない。