九州大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
点$C(0,0,1)$から点$D(a,b,1)$へ向かうベクトルは $$\overrightarrow{CD}=(a,b,0)$$ である。線分$CD$上の点を $(a\lambda ,b\lambda ,1)$ とおく。これが点$A(a,0,0)$から下ろした垂線の足$G$であるためには，$$\{(a\lambda ,b\lambda ,1)-(a,0,0)\}\cdot (a,b,0)=0$$ が成り立てばよい。左辺を計算すると $$a^2(\lambda -1)+b^2\lambda =(a^2+b^2)\lambda -a^2$$ であるから $$\lambda =\frac{a^2}{a^2+b^2}$$ である。よって $$G=(\frac{a^3}{a^2+b^2},\frac{a^{2}b}{a^2+b^2},1)$$ である。

(2)
同様に，点$B(0,b,0)$から下ろした垂線の足$H$を$(a\mu ,b\mu ,1)$とおくと $$\{(a\mu ,b\mu ,1)-(0,b,0)\}\cdot (a,b,0)=0$$ より $a^2\mu +b^2(\mu -1)=0$ である。したがって $$\mu =\frac{b^2}{a^2+b^2}$$ であり $$H=(\frac{a{b}^2}{a^2+b^2},\frac{b^3}{a^2+b^2},1)$$ である。

ここで$L=a^2+b^2$とおくと$$\overrightarrow{AG}=(-\frac{a{b}^2}{L},\frac{a^{2}b}{L},1),\overrightarrow{BH}=(\frac{a{b}^2}{L},-\frac{a^{2}b}{L},1)$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BH}}& {\displaystyle =-\frac{a^2{b}^4}{L^2}-\frac{a^4{b}^2}{L^2}+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\frac{a^2{b}^2(a^2+b^2)}{L^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\frac{a^2{b}^2}{L}}\end{array}$$である。また $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AG}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{BH}{\mathrm{\mid }}^2=1+\frac{a^2{b}^2}{L}$$ である。よって$$\cos \theta =\frac{1-\frac{a^2{b}^2}{L}}{1+\frac{a^2{b}^2}{L}}=\frac{a^2+b^2-a^2{b}^2}{a^2+b^2+a^2{b}^2}$$である。

直線 $CD$ への正射影公式を使って垂線の足を一度に求める。角は射影成分と高さ方向を分けて内積と長さを計算する。

(1) $\mathit{u}=(a,b,0)$，$L=a^2+b^2$ とする。直線 $CD$ 上の点は $C+t\mathit{u}$ である。正射影の係数は$$t=\frac{(A-C)\cdot \mathit{u}}{\mathit{u}\cdot \mathit{u}}=\frac{a^2}{L}\mathrm{.}$$したがって$$G=(\frac{a^3}{L},\frac{a^{2}b}{L},1)\mathrm{.}$$(2) 同様に$$H=(\frac{a{b}^2}{L},\frac{b^3}{L},1)\mathrm{.}$$よって$$\overrightarrow{AG}=(-\frac{a{b}^2}{L},\frac{a^{2}b}{L},1),\overrightarrow{BH}=(\frac{a{b}^2}{L},-\frac{a^{2}b}{L},1)\mathrm{.}$$水平方向の2成分は互いに逆向きで，その長さの二乗は $a^2{b}^2\mathrm{/}L$ である。したがって$$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{BH}=1-\frac{a^2{b}^2}{L},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AG}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{BH}{\mathrm{\mid }}^2=1+\frac{a^2{b}^2}{L}\mathrm{.}$$ゆえに$$\cos \theta =\frac{a^2+b^2-a^2{b}^2}{a^2+b^2+a^2{b}^2}\mathrm{.}$$