九州大学 2017年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

2つの定数 $a > 0$ および $b > 0$ に対し，座標空間内の4点を

A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, 1), D (a, b, 1)

と定める。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $A$ から線分 $C D$ におろした垂線と $C D$ の交点を $G$ とする。 $G$ の座標を $a$ ， $b$ を用いて表せ。

(2) さらに，点 $B$ から線分 $C D$ におろした垂線と $C D$ の交点を $H$ とする。 $A G$ と $B H$ がなす角を $θ$ とするとき， $cos θ$ を $a$ ， $b$ を用いて表せ。

出典：九州大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

解法1

線分 $C D$ を $(aλ, bλ, 1)$ とパラメータ表示し，垂線の足は $C D$ 方向ベクトル $(a, b, 0)$ との内積が0になる条件で求める。(1)で $G$ ，同様に(2)で $H$ を出し， $A G$ と $B H$ の内積・長さを整理する。分母 $a^{2} + b^{2}$ を共通化すると，最後の $cos θ$ が対称な形にまとまる。

解法2

直線 $C D$ への正射影公式を使って垂線の足を一度に求める。角は射影成分と高さ方向を分けて内積と長さを計算する。

解答

解法1

(1)

点 $C (0, 0, 1)$ から点 $D (a, b, 1)$ へ向かうベクトルは $C D = (a, b, 0)$ である。線分 $C D$ 上の点を $(aλ, bλ, 1)$ とおく。これが点 $A (a, 0, 0)$ から下ろした垂線の足 $G$ であるためには， ${(aλ, bλ, 1) - (a, 0, 0)} \cdot (a, b, 0) = 0$ が成り立てばよい。左辺を計算すると $a^{2} (λ - 1) + b^{2} λ = (a^{2} + b^{2}) λ - a^{2}$ であるから $λ = \frac{a ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}$ である。よって $G = (\frac{a ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}}, \frac{a ^{2} b}{a ^{2} + b ^{2}}, 1)$ である。

(2)

同様に，点 $B (0, b, 0)$ から下ろした垂線の足 $H$ を $(a μ, b μ, 1)$ とおくと ${(a μ, b μ, 1) - (0, b, 0)} \cdot (a, b, 0) = 0$ より $a^{2} μ + b^{2} (μ - 1) = 0$ である。したがって $μ = \frac{b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}$ であり $H = (\frac{a b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}, \frac{b ^{3}}{a ^{2} + b ^{2}}, 1)$ である。

ここで $L = a^{2} + b^{2}$ とおくと

A G = (- \frac{a b ^{2}}{L}, \frac{a ^{2} b}{L}, 1), B H = (\frac{a b ^{2}}{L}, - \frac{a ^{2} b}{L}, 1)

である。したがって

A G \cdot B H = - \frac{a ^{2} b ^{4}}{L ^{2}} - \frac{a ^{4} b ^{2}}{L ^{2}} + 1 = 1 - \frac{a ^{2} b ^{2} ( a ^{2} + b ^{2} )}{L ^{2}} = 1 - \frac{a ^{2} b ^{2}}{L}

である。また $∣ A G ∣^{2} = ∣ B H ∣^{2} = 1 + \frac{a ^{2} b ^{2}}{L}$ である。よって

cos θ = \frac{1 - \frac{a ^{2} b ^{2}}{L}}{1 + \frac{a ^{2} b ^{2}}{L}} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - a ^{2} b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2} + a ^{2} b ^{2}}

である。

解法2

(1)

$u = (a, b, 0)$ ， $L = a^{2} + b^{2}$ とする。直線 $C D$ 上の点は $C + t u$ である。正射影の係数は

t = \frac{( A - C ) \cdot u}{u \cdot u} = \frac{a ^{2}}{L} .

したがって

G = (\frac{a ^{3}}{L}, \frac{a ^{2} b}{L}, 1) .

(2)

同様に

H = (\frac{a b ^{2}}{L}, \frac{b ^{3}}{L}, 1) .

よって

A G = (- \frac{a b ^{2}}{L}, \frac{a ^{2} b}{L}, 1), B H = (\frac{a b ^{2}}{L}, - \frac{a ^{2} b}{L}, 1) .

水平方向の2成分は互いに逆向きで，その長さの二乗は $a^{2} b^{2} / L$ である。したがって

A G \cdot B H = 1 - \frac{a ^{2} b ^{2}}{L}, ∣ A G ∣^{2} = ∣ B H ∣^{2} = 1 + \frac{a ^{2} b ^{2}}{L} .

ゆえに

cos θ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - a ^{2} b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2} + a ^{2} b ^{2}} .

九州大学 2017年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

九州大学 2017年度
理系数学前期第2問