九州大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ なので $$\frac{1}{z}=\bar{z}=\cos \theta -i\sin \theta$$ である。また、整数 $n$ に対して$$z^n=\cos n\theta +i\sin n\theta ,\frac{1}{z^n}=\cos n\theta -i\sin n\theta$$が成り立つ。$n$ が負の場合も、$z^{-k}=1\mathrm{/}{z}^k$ と考えれば同じ式で表せる。

この2式を足すと $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta$$ であり、引くと $$z^n-\frac{1}{z^n}=2i\sin n\theta$$ である。したがってである。

(2)

$c=\cos x$ とおく。二倍角・三倍角の公式より $$\cos 2x=2c^2-1,\cos 3x=4c^3-3c$$ である。与えられた方程式は $c+(2c^2-1)-(4c^3-3c)=1$ すなわち $-4c^3+2c^2+4c-2=0$ である。因数分解すると $-2(c-1)(c+1)(2c-1)=0$ であるから $c=1,-1,\frac{1}{2}$ である。$0\leqq x<2\pi$ より である。

(3) $${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\sin }^2{20}^{\circ }+{\sin }^2{40}^{\circ }+{\sin }^2{60}^{\circ }+{\sin }^2{80}^{\circ }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-\frac{1}{2}(\cos {40}^{\circ }+\cos {80}^{\circ }+\cos {120}^{\circ }+\cos {160}^{\circ })}\end{array}$$である。ここで和積公式より$$\cos {40}^{\circ }+\cos {160}^{\circ }=2\cos {100}^{\circ }\cos (-{60}^{\circ })=\cos {100}^{\circ }$$である。また $$\cos {100}^{\circ }+\cos {80}^{\circ }=2\cos {90}^{\circ }\cos {10}^{\circ }=0$$ である。したがって$$\cos {40}^{\circ }+\cos {80}^{\circ }+\cos {120}^{\circ }+\cos {160}^{\circ }=\cos {120}^{\circ }=-\frac{1}{2}$$である。よって$${\sin }^2{20}^{\circ }+{\sin }^2{40}^{\circ }+{\sin }^2{60}^{\circ }+{\sin }^2{80}^{\circ }=2-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}$$となり、示された。

(1) は加法定理を使った帰納法でDe Moivreの公式を証明する。(2)は3倍角の多項式へ直さず，和積公式で左辺を積に因数分解する。(3)は9乗根の和の実部を使い，8個の正弦平方和を求めて対称性で半分にする。

(1)
まず $n\geqq 0$ について$$\begin{array}{cccc}& z^n=\cos n\theta +i\sin n\theta & & \text{(1)}\end{array}$$を帰納法で示す。$n=0$ では明らかである。(1)が $n$ で成り立つとき，両辺に $$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ を掛け，加法定理を用いると$$z^{n+1}=\cos ((n+1)\theta )+i\sin ((n+1)\theta )$$となる。負の整数 $n=-m$ については$$z^{-m}=\overline{z^m}=\cos m\theta -i\sin m\theta =\cos (-m\theta )+i\sin (-m\theta )$$だから，(1)はすべての整数で成り立つ。

さらに$$z^{-n}=\cos n\theta -i\sin n\theta$$である。和と差を取ればを得る。

(2)
与式の左辺から右辺を引くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \cos x+\cos 2x-\cos 3x-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\cos x-\cos 3x)+(\cos 2x-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sin 2x\sin x-2{\sin }^{2}x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\sin }^{2}x(2\cos x-1)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\sin x=0\text{または}\cos x=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$$0\leqq x<2\pi$ よりである。

(3) $$\omega =\cos {40}^{\circ }+i\sin {40}^{\circ }$$とおくと，$${\omega }^9=1,\omega \text{neqq}1$$ だから$$1+\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^8=0.$$実部を取って$$\sum _{k=1}^8\cos (40k^{\circ })=-1.$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^8{\sin }^2(20k^{\circ })}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\sum _{k=1}^8\{1-\cos (40k^{\circ })\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-\frac{1}{2}(-1)=\frac{9}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$また$${\sin }^2(20(9-k{)}^{\circ })={\sin }^2(20k^{\circ })$$であるから，$k=1,2,3,4$ の和は全体の半分である。したがってが成り立つ。