九州大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $g(x)=x-\sin x$ とおく。すると $g^{\mathrm{\prime }}(x)=1-\cos x$ である。$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $\cos x\leqq 1$ だから $g^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。また $g(0)=0$ である。したがって $g(x)\geqq 0$、すなわち $\sin x-x\leqq 0$ が成り立つ。

(2)
たとえば $${\displaystyle a=\frac{1}{6}}$$ と定める。このとき $${\displaystyle h(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}}$$ とおくと、$${\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2},h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x+x}$$ である。(1)より $x-\sin x\geqq 0$ だから $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。また $h^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ なので、$h^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ で0以上である。さらに $h(0)=0$ だから、$h(x)\geqq 0$ である。よって ${\displaystyle \sin x-x+\frac{x^3}{6}\geqq 0}$ が成り立つ。したがって条件をみたす正の数として $${\displaystyle a=\frac{1}{6}}$$ を取ればよい。

(3)
まず $0<x\leqq \pi \mathrm{/}2$ とする。(1)(2)より ${\displaystyle \sin x-x\leqq 0,\sin x-x+\frac{x^3}{6}\geqq 0}$ であるから $${\displaystyle 0\leqq x-\sin x\leqq \frac{x^3}{6}}$$ である。これを正の $x$ で割ると $${\displaystyle 0\leqq 1-\frac{\sin x}{x}\leqq \frac{x^2}{6}}$$ となる。したがって $${\displaystyle \mid \frac{\sin x}{x}-1\mid \leqq \frac{x^2}{6}}$$ である。

次に $-\pi \mathrm{/}2\leqq x<0$ のときを考える。関数 $\sin x\mathrm{/}x$ は偶関数であるから、$y=-x>0$ とおけば$$\mid \frac{\sin x}{x}-1\mid =\mid \frac{\sin y}{y}-1\mid \leqq \frac{y^2}{6}=\frac{x^2}{6}$$である。よって、(2)で定めた $a=1\mathrm{/}6$ に対して $${\displaystyle \mid \frac{\sin x}{x}-1\mid \leqq a{x}^2}$$ が成り立つ。

(4)

(1) で確認した上下関係を図示すると、回転する領域は
次の斜線部分である。

(1) より、$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $x\geqq \sin x$ である。したがって、曲線 $y=\sin x$、直線 $y=x$、直線 $x=\pi \mathrm{/}2$ で囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転すると、断面は外半径 $x$、内半径 $\sin x$ のワッシャーになる。

よって体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(x^2-{\sin }^{2}x)dx$$である。ここで$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^{\pi \mathrm{/}2}=\frac{{\pi }^3}{24}$$であり、$${\displaystyle {\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}}$$ より$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2}xdx={[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}]}_0^{\pi \mathrm{/}2}=\frac{\pi }{4}$$である。したがって$$V=\pi (\frac{{\pi }^3}{24}-\frac{\pi }{4})=\frac{{\pi }^2({\pi }^2-6)}{24}$$である。