九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

正接の倍角公式 $$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$$ より、$a_n=\tan {\theta }_n$ とおくと $a_{n+1}=\tan 2{\theta }_n$ である。$$a_1=1\mathrm{/}\sqrt{3}=\tan (\pi \mathrm{/}6)$$ だから $$a_n=\tan \left(2^{n-1}\frac{\pi }{6}\right)$$ である。 $n=1$ では $a_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。$n\geqq 2$ では、$2^{n-1}$ は3で割ると $n-1$ が奇数のとき2、偶数のとき1に合同である。したがって$$a_n=\{\begin{array}{ll}\sqrt{3}& (n\geqq 2\text{ が偶数}),\\ -\sqrt{3}& (n\geqq 3\text{ が奇数})\end{array}$$である。まとめると$$a_1=\frac{1}{\sqrt{3}},a_n=\{\begin{array}{ll}\sqrt{3}& (n\geqq 2\text{ が偶数}),\\ -\sqrt{3}& (n\geqq 3\text{ が奇数})\end{array}$$である。

(2) $$x=\tan \frac{\pi }{12}$$ とおくと、$0<x<1$ である。倍角公式から $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \frac{\pi }{6}=\frac{2x}{1-x^2}$$ である。よって $x^2+2\sqrt{3}x-1=0$ となり、$x=-\sqrt{3}\pm 2$ である。正の解を選んで $$\tan \frac{\pi }{12}=2-\sqrt{3}$$ である。

(3) $$a_n=\tan \left(2^{n-1}\frac{\pi }{20}\right)$$ である。条件 $a_{n+k}=a_n$ は$$\tan \left(2^{n+k-1}\frac{\pi }{20}\right)=\tan \left(2^{n-1}\frac{\pi }{20}\right)$$であることを意味する。正接の周期は $\pi$ なので、これは $(2^{n-1}(2^k-1))\frac{\pi }{20}$ が $\pi$ の整数倍であることと同値である。 $n\geqq 3$ では $2^{n-1}$ は少なくとも $4$ を因数にもつ。したがって、すべての $n\geqq 3$ で成り立つためには $5\mid (2^k-1)$ であればよい。すなわち $2^k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ である。$$2^1\equiv 2,2^2\equiv 4,2^3\equiv 3,2^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$$であるから、最小の自然数 $k$ は $4$ である。