九州大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
原点以外の交点の$x$座標を$x$とすると，$$0<x<\frac{\pi }{2}$$ であり，特に$\sin x>0$，$\cos x>0$である。交点条件は $$a\tan x=\sin 2x=2\sin x\cos x$$ である。$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$を用い，$\sin x$で割ると $$\frac{a}{\cos x}=2\cos x$$ すなわち $a=2{\cos }^{2}x$ である。$$0<x<\frac{\pi }{2}$$では$0<{\cos }^{2}x<1$なので，原点以外の交点をもつ条件は $0<a<2$ である。

(2)
交点$P$の$x$座標を$p$とする。(1)より $a=2{\cos }^{2}p$ である。$C_1:y=a\tan x$の接線の傾きは $$a{\sec }^{2}p=\frac{a}{{\cos }^{2}p}=2$$ である。一方，$C_2:y=\sin 2x$の接線の傾きは $2\cos 2p$ である。2本の接線が直交するためには傾きの積が$-1$であればよいから $2\cdot 2\cos 2p=-1$ である。したがって $\cos 2p=-\frac{1}{4}$ である。また $a=2{\cos }^{2}p=1+\cos 2p$ より $a=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ である。

(3) $a=\frac{3}{4}$のとき，$0<x<p$では$2{\cos }^{2}x>a$であるから，交点条件の比較より $\sin 2x>a\tan x$ である。よって囲まれた部分の面積は ${\int }_0^p(\sin 2x-\frac{3}{4}\tan x)dx$ である。

ここで $${\int }_0^p\sin 2xdx={[-\frac{1}{2}\cos 2x]}_0^p=\frac{1}{2}(1-\cos 2p)$$ であり，また $${\int }_0^p\tan xdx={[-\log (\cos x)]}_0^p=-\log (\cos p)$$ である。したがって面積は $\frac{1}{2}(1-\cos 2p)+\frac{3}{4}\log (\cos p)$ である。$\cos 2p=-\frac{1}{4}$より $${\cos }^{2}p=\frac{1+\cos 2p}{2}=\frac{3}{8}$$ だから，$\cos p>0$に注意して $$\log (\cos p)=\frac{1}{2}\log \frac{3}{8}$$ である。よって求める面積は $\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\log \frac{3}{8}$ である。

交点条件を $\cos 2p$ で表し，接線の傾きの積から直交条件を立てる。面積は $\sin 2x-a\tan x$ の原始関数を先に作り，端点の関係だけを代入して整理する。

(1) $0<x<\pi \mathrm{/}2$ で交わるとき，$$a\tan x=\sin 2x⟺a=2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x\mathrm{.}$$右辺はこの区間で0と2の間を動くので，条件は $0<a<2$ である。

(2) 交点の $x$ 座標を $p$ とすると $a=2{\cos }^{2}p$ である。そこでの2曲線の傾きは$$a{\sec }^{2}p=2,2\cos 2p\mathrm{.}$$直交条件より $4\cos 2p=-1$ だから，$$\cos 2p=-\frac{1}{4},a=1+\cos 2p=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$(3) $0<x<p$ では $\sin 2x>(3\mathrm{/}4)\tan x$ なので，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^p(\sin 2x-\frac{3}{4}\tan x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{3}{4}\log (\cos x)]}_0^p\mathrm{.}}\end{array}$$$\cos 2p=-1\mathrm{/}4$，${\cos }^{2}p=3\mathrm{/}8$ を代入すると$$S=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\log \frac{3}{8}\mathrm{.}$$