九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

正接の倍角公式は $$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$$ である。したがって $a_n=\tan {\theta }_n$ と表せるとき、与えられた漸化式は $a_{n+1}=\tan 2{\theta }_n$ を意味する。 $$a_1=1\mathrm{/}\sqrt{3}=\tan (\pi \mathrm{/}6)$$ であるから $$a_n=\tan \left(2^{n-1}\frac{\pi }{6}\right)$$ である。よって $$a_{10}=\tan \left(2^9\frac{\pi }{6}\right)=\tan \frac{256\pi }{3}$$ である。正接の周期は $\pi$ であり、$256\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ なので $$a_{10}=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$$ である。同様に $$a_{11}=\tan \frac{512\pi }{3}$$ であり、$512\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ だから $$a_{11}=\tan \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$$ である。

(2) $$x=\tan \frac{\pi }{12}$$ とおく。$0<\pi \mathrm{/}12<\pi \mathrm{/}4$ より $0<x<1$ である。倍角公式から $$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{2x}{1-x^2}$$ であり、$\tan (\pi \mathrm{/}6)=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ なので $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2x}{1-x^2}$$ である。整理すると $x^2+2\sqrt{3}x-1=0$ である。よって $x=-\sqrt{3}\pm 2$ であり、$x>0$ から $$\tan \frac{\pi }{12}=2-\sqrt{3}$$ である。

(3) $$a_n=\tan \left(2^{n-1}\frac{\pi }{7}\right)$$ である。$a_k=a_1$ となるためには $$\tan \left(2^{k-1}\frac{\pi }{7}\right)=\tan \frac{\pi }{7}$$ であればよい。正接の周期は $\pi$ なので、これは $(2^{k-1}-1)\frac{\pi }{7}$ が $\pi$ の整数倍であることと同値である。したがって $2^{k-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ を満たす最小の $k\geqq 2$ を求めればよい。 $2^1\equiv 2,2^2\equiv 4,2^3\equiv 8\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ であるから、最小は $k-1=3$ である。よって $k=4$ である。