九州大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $\mathrm{\mid }\sin X\mathrm{\mid }$ は周期 $\pi$ をもつ。したがって、任意の整数 $k$ について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\sin (2n\pi (x+\frac{k}{2n}))\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\sin (2n\pi x+k\pi )\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\sin (2n\pi x)\mathrm{\mid }}\end{array}$$である。よって $${\displaystyle f_n(x)=f_n(x+\frac{k}{2n})}$$ が成り立つ。

(2)
区間 $(\frac{k-1}{2n},\frac{k}{2n})$ を考える。このとき $(k-1)\pi <2n\pi x<k\pi$ である。この区間で $\mathrm{\mid }\sin (2n\pi x)\mathrm{\mid }$ は、左端で0、中央で1、右端で0となる1つの山を作る。より具体的には、前半で単調に0から1へ増加し、後半で1から0へ減少する。

方程式 $f_n(x)=0$ は $$\mathrm{\mid }\sin (2n\pi x)\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{5}}$$ と同値である。$0<\frac{1}{\sqrt{5}}<1$ なので、この高さは山の前半で1回、後半で1回だけ現れる。したがって、各区間で相異なる2つの解をもつ。

(3)
第 $k$ 区間 $(\frac{k-1}{2n},\frac{k}{2n})$ にある2つの解は、その区間の中央 $\frac{2k-1}{4n}$ に関して対称である。したがって、第 $k$ 区間にある2解の和は $$2\cdot \frac{2k-1}{4n}=\frac{2k-1}{2n}$$ である。

これを $k=1,2,\dots ,2n$ について足すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{2n}\frac{2k-1}{2n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2n}\sum _{k=1}^{2n}(2k-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(2n{)}^2}{2n}=2n}\end{array}$$である。よって $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_n}{n}=2}$$ である。

$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$，$\sin \theta =1\mathrm{/}\sqrt{5}$ となる角 $\theta$ をおき、各小区間にある2解を明示する。2解の和では $\theta$ が消えるため、奇数列の和に帰着して $S_n$ を求める。

$$0<\theta <\frac{\pi }{2},\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$$となる角 $\theta$ をおく。

(1)
整数 $k$ に対し$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_n\text{\hspace{0.17em}⁣}(x+\frac{k}{2n})}& {\displaystyle =1-\sqrt{5}\mid \sin (2n\pi x+k\pi )\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\sqrt{5}\mathrm{\mid }\sin (2n\pi x)\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f_n(x)}\end{array}$$である。

(2)
第 $k$ 区間では$$(k-1)\pi <2n\pi x<k\pi \mathrm{.}$$方程式 $f_n(x)=0$ は$$\mathrm{\mid }\sin (2n\pi x)\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{5}}$$と同値であり、この区間の2解は$$x_{k,1}=\frac{(k-1)\pi +\theta }{2n\pi },x_{k,2}=\frac{k\pi -\theta }{2n\pi }\mathrm{.}$$$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ なので両者は区間内部にあり、互いに異なる。したがって各区間にちょうど2解ある。

(3)
2解の和は$$x_{k,1}+x_{k,2}=\frac{2k-1}{2n}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{2n}\frac{2k-1}{2n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1+3+\cdots +(4n-1)}{2n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(2n{)}^2}{2n}=2n\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_n}{n}=2$$である。