問題
自然数に対して定まる関数
について，以下の問いに答えよ。
(1) 任意の実数に対して が成り立つことを示せ。
(2) 区間 においては相異なる2つの解を持つことを示せ。
(3) 区間における方程式のすべての解の和をとおくとき，極限を求めよ。
出典：九州大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
解法1（各周期区間の対称性を使う）
の周期が であることを確認し、各小区間に同じ形の山が1つずつ現れることを使う。2解は区間の中央に関して対称なので、個々の解を求めず和だけを計算する。
解法2（各解を逆三角関数で明示する）
とおき、各小区間にある2解を明示する。2解の和では が消えるため、奇数列の和に帰着して を求める。
解答
解法1（各周期区間の対称性を使う）
(1)
は周期 をもつ。したがって、任意の整数 について
である。よって が成り立つ。
(2)
区間 を考える。このとき である。この区間で は、左端で0、中央で1、右端で0となる1つの山を作る。より具体的には、前半で単調に0から1へ増加し、後半で1から0へ減少する。
方程式 は と同値である。 なので、この高さは山の前半で1回、後半で1回だけ現れる。したがって、各区間で相異なる2つの解をもつ。
(3)
第 区間 にある2つの解は、その区間の中央 に関して対称である。したがって、第 区間にある2解の和は である。
これを について足すと
である。よって である。
解法2（各解を逆三角関数で明示する）
とおく。
(1)
整数 に対し
である。
(2)
第 区間では
方程式 は
と同値であり、この区間の2解は
なので両者は区間内部にあり、互いに異なる。したがって各区間にちょうど2解ある。
(3)
2解の和は
よって
したがって
である。