九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) 点 $(c,0)$ で $x$ 軸に接するので、$x=c$ は$$x^3+a{x}^2+bx+c=0$$の重解である。したがって$$x^3+a{x}^2+bx+c=(x-c{)}^2(x+d)$$と置ける。定数項の比較から $c^{2}d=c$ であり、$c>0$ より $d=1\mathrm{/}c$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x-c{)}^2(x+\frac{1}{c})}& {\displaystyle =x^3+(\frac{1}{c}-2c)x^2+(c^2-2)x+c}\end{array}$$となり、$$a=\frac{1}{c}-2c,b=c^2-2$$を得る。

(2) もう一つの交点は $x=-1\mathrm{/}c$ であり、区間 $[-1\mathrm{/}c,c]$ では曲線は $x$ 軸の上側にある。したがって$$S={\int }_{-1\mathrm{/}c}^c(x-c{)}^2(x+\frac{1}{c})dx$$である。ここで$$u=x+\frac{1}{c},L=c+\frac{1}{c}$$と置くと $x-c=u-L$、積分区間は $0\leqq u\leqq L$ となる。ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{L}u(u-L{)}^{2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{L^4}{12}=\frac{1}{12}{(c+\frac{1}{c})}^4}\end{array}$$である。$c>0$ では$$c+\frac{1}{c}\geqq 2$$で、等号は $c=1$ のときに限る。したがって $S$ を最小にする値は$$c=1$$である。

接点条件を $F(c)=F^{\mathrm{\prime }}(c)=0$ という2本の式にして $a,b$ を直接消去する。面積は区間全体を $0\leqq t\leqq 1$ へ正規化し、積分値が区間長の4乗に比例することを使う。

(1) $$F(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$$と置く。接点条件は$$F(c)=0,F^{\mathrm{\prime }}(c)=0$$である。$c>0$ を用いて第1式を $c$ で割ると$$c^2+ac+b+1=0$$であり、第2式は$$3c^2+2ac+b=0$$である。差を取れば$$2c^2+ac-1=0$$だから$$a=\frac{1}{c}-2c$$となる。これを戻すと$$b=c^2-2$$を得る。

(2) (1) の係数を用いると$$F(x)=(x-c{)}^2(x+\frac{1}{c})$$である。区間長を$$L=c+\frac{1}{c}$$とし、$$x=-\frac{1}{c}+Lt(0\leqq t\leqq 1)$$と置く。このとき$$x+\frac{1}{c}=Lt,x-c=L(t-1),dx=Ldt$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =L^4{\int }_0^{1}t(t-1{)}^{2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =L^4(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4})=\frac{L^4}{12}}\end{array}$$である。したがって $S$ の最小化は $L=c+1\mathrm{/}c$ の最小化と同じであり、$$c=1$$のときに最小となる。