問題
座標平面内の曲線が点において軸に接しているとする。ただし，，は実数，である。以下の問いに答えよ。
(1)，をそれぞれを用いて表せ。
(2)この曲線と軸で囲まれた部分の面積をとする。を最小にするの値を求めよ。
出典：九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
解法1
接点 が三次方程式の重解であることから因数分解し、残る一次因子を定数項で決める。面積はもう一つの交点から接点まで積分し、 によって区間長 だけに依存する形へ直す。
解法2
接点条件を という2本の式にして を直接消去する。面積は区間全体を へ正規化し、積分値が区間長の4乗に比例することを使う。
解答
解法1
(1)
点 で 軸に接するので、 は
の重解である。したがって
と置ける。定数項の比較から であり、 より である。よって
となり、
を得る。
(2)
もう一つの交点は であり、区間 では曲線は 軸の上側にある。したがって
である。ここで
と置くと 、積分区間は となる。ゆえに
である。 では
で、等号は のときに限る。したがって を最小にする値は
である。
解法2
(1)
と置く。接点条件は
である。 を用いて第1式を で割ると
であり、第2式は
である。差を取れば
だから
となる。これを戻すと
を得る。
(2)
(1) の係数を用いると
である。区間長を
とし、
と置く。このとき
だから
である。したがって の最小化は の最小化と同じであり、
のときに最小となる。