九州大学 2018年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

平面上に三角形 $A B C$ と点 $O$ が与えられている。この平面上の動点 $P$ に対し，

L = P A^{2} + P B^{2} + P C^{2}

とおく。以下の問いに答えよ。

(1) $a = O A$ ， $b = O B$ ， $c = O C$ および $x = O P$ とおくとき，次の等式を示せ。

L = 3 ∣ x ∣^{2} - 2 (a + b + c) \cdot x + ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2}

(2) $L$ を最小にする点 $P$ は三角形 $A B C$ の重心であることを示せ。また， $L$ の最小値は

\frac{1}{3} (A B^{2} + B C^{2} + C A^{2})

であることを示せ。

出典：九州大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

解法1

各距離を $∣ x - a ∣^{2}$ の形で展開して (1) を示す。(2) は $x$ について平方完成し、最小点と最小値を読み取った後、辺の長さの式へ戻す。

解法2

最初から重心 $G$ を基準にする。任意の点 $P$ から各頂点へのベクトルを $P G + G A$ などと分け、重心のベクトル和が0であることから交差項を消す。

解答

解法1

(1)

P A^{2} = ∣ x - a ∣^{2} = ∣ x ∣^{2} - 2 a \cdot x + ∣ a ∣^{2}

である。 $P B^{2}, P C^{2}$ についても同様に展開して足せば

L = 3∣ x ∣^{2} - 2 (a + b + c) \cdot x + ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2}

を得る。

(2)

g = \frac{a + b + c}{3}

と置く。(1) の式を平方完成すると

L = 3∣ x - g ∣^{2} + ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} - 3∣ g ∣^{2}

となる。第1項が0になるのは $x = g$ のときに限り、この点は三角形 $A B C$ の重心 $G$ である。

さらに

A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} = ∣ a - b ∣^{2} + ∣ b - c ∣^{2} + ∣ c - a ∣^{2} = 3 (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} - 3∣ g ∣^{2})

だから、最小値は

\frac{1}{3} (A B^{2} + B C^{2} + C A^{2})

である。

解法2

三角形の重心を $G$ とする。位置関係を図示すると次のようになる。

重心の性質より

G A + GB + GC = 0

である。したがって

L = ∣ P G + G A ∣^{2} + ∣ P G + GB ∣^{2} + ∣ P G + GC ∣^{2} = 3 P G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}

となる。

(1)

$O G = g = (a + b + c) /3$ として上式を展開すれば

L = 3∣ x ∣^{2} - 2 (a + b + c) \cdot x + ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2}

となり、指定された等式が得られる。

(2)

上の重心基準の式から、 $L$ は $P G = 0$ 、すなわち $P = G$ のときに最小となる。また

G A + GB + GC = 0

を用いて3辺の長さを展開すると

A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} = 3 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2})

である。よって

L_{m i n} = G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = \frac{1}{3} (A B^{2} + B C^{2} + C A^{2})

となる。

九州大学 2018年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

九州大学 2018年度
文系数学前期第3問