九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$P{A}^2=\mathrm{\mid }\mathit{x}-\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\mathit{x}{\mathrm{\mid }}^2-2\mathit{a}\cdot \mathit{x}+\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2$$である。$P{B}^2,P{C}^2$ についても同様に展開して足せば$$L=3\mathrm{\mid }\mathit{x}{\mathrm{\mid }}^2-2(\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c})\cdot \mathit{x}+\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{c}{\mathrm{\mid }}^2$$を得る。

(2) $$\mathit{g}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{3}$$と置く。(1) の式を平方完成すると$$L=3\mathrm{\mid }\mathit{x}-\mathit{g}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{c}{\mathrm{\mid }}^2-3\mathrm{\mid }\mathit{g}{\mathrm{\mid }}^2$$となる。第1項が0になるのは $$\mathit{x}=\mathit{g}$$ のときに限り、この点は三角形 $ABC$ の重心 $G$ である。

さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\mathit{a}-\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{b}-\mathit{c}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{c}-\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{c}{\mathrm{\mid }}^2-3\mathrm{\mid }\mathit{g}{\mathrm{\mid }}^2)}\end{array}$$だから、最小値は$$\frac{1}{3}(A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2)$$である。

最初から重心 $G$ を基準にする。任意の点 $P$ から各頂点へのベクトルを $\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA}$ などと分け、重心のベクトル和が0であることから交差項を消す。

三角形の重心を $G$ とする。位置関係を図示すると次のようになる。

重心の性質より$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\mathbf{0}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GB}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GC}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3P{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2}\end{array}$$となる。

(1) $$\overrightarrow{OG}=\mathit{g}=(\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c})\mathrm{/}3$$ として上式を展開すれば$$L=3\mathrm{\mid }\mathit{x}{\mathrm{\mid }}^2-2(\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c})\cdot \mathit{x}+\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{c}{\mathrm{\mid }}^2$$となり、指定された等式が得られる。

(2) 上の重心基準の式から、$L$ は $PG=0$、すなわち $P=G$ のときに最小となる。また$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\mathbf{0}$$を用いて3辺の長さを展開すると$$A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2=3(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2)$$である。よって$$L_{\min }=G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2=\frac{1}{3}(A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2)$$となる。