九州大学 2018年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

3つの部品a，b，cからなる製品が多数入った箱がある。製品を1つ取り出したとき，部品a，b，cが不良品である確率について次のことがわかっている。

・部品aが不良品である確率は $p$ である。

・部品aが不良品でないとき，部品bが不良品である確率は $q$ である。

・部品aが不良品であるとき，部品bも不良品である確率は $3 q$ である。

・部品bが不良品でないとき，部品cが不良品である確率は $r$ である。

・部品bが不良品であるとき，部品cも不良品である確率は $5 r$ である。ただし， $0 < p < 1$ ， $0 < q < \frac{1}{3}$ ， $0 < r < \frac{1}{5}$ である。以下の問いに答えよ。

(1)製品を1つ取り出したとき，部品a，bの少なくとも一方が不良品である確率を $p$ ， $q$ を用いて表せ。

(2)製品を1つ取り出したとき，部品cが不良品である確率を $p$ ， $q$ ， $r$ を用いて表せ。

(3)製品を1つ取り出したところ部品cが不良品であった。このとき，部品bも不良品である確率を $p$ ， $q$ を用いて表せ。

出典：九州大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

解法1

不良事象を $A, B, C$ と置く。まず全確率の公式で $P (B)$ を求め、(1) は和事象、(2) は $B$ の有無による全確率、(3) はベイズの公式で順に処理する。

解法2

(1) は余事象 $A^{c} \cap B^{c}$ を直接計算する。(2)(3) は $B$ の周辺確率を $β$ と置き、二段階の確率表として整理する。

解答

解法1

部品 $a, b, c$ が不良である事象をそれぞれ $A, B, C$ とする。

(1)

全確率の公式から

P (B) = P (A) P (B ∣ A) + P (A^{c}) P (B ∣ A^{c}) = 3 pq + (1 - p) q = q (1 + 2 p)

である。また $P (A \cap B) = 3 pq$ だから

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = p + q - pq

となる。

(2)

$P (C ∣ B) = 5 r$ 、 $P (C ∣ B^{c}) = r$ なので

P (C) = 5 r P (B) + r {1 - P (B)} = r {1 + 4 q (1 + 2 p)}

である。

(3)

P (B \cap C) = P (B) P (C ∣ B) = 5 r q (1 + 2 p)

だから

P (B ∣ C) = \frac{P ( B \cap C )}{P ( C )} = \frac{5 q ( 1 + 2 p )}{1 + 4 q ( 1 + 2 p )}

を得る。

解法2

(1)

$a, b$ がともに良品である確率は

P (A^{c} \cap B^{c}) = P (A^{c}) P (B^{c} ∣ A^{c}) = (1 - p) (1 - q)

である。したがって少なくとも一方が不良である確率は

1 - (1 - p) (1 - q) = p + q - pq

となる。

(2)

まず

β = P (B) = 3 q p + q (1 - p) = q (1 + 2 p)

と置く。部品 $b$ の状態と部品 $c$ の条件付き確率は

確率 P (C ∣ \cdot) B β 5 r B^{c} 1 - β r

と整理できる。よって

P (C) = 5 r β + r (1 - β) = r {1 + 4 q (1 + 2 p)}

である。

(3)

上の表で $C$ が起こった場合のうち $B$ 側に属する割合を取れば

P (B ∣ C) = \frac{5 r β}{5 r β + r ( 1 - β )}

である。 $β = q (1 + 2 p)$ を代入し、 $r$ を約分すると

P (B ∣ C) = \frac{5 q ( 1 + 2 p )}{1 + 4 q ( 1 + 2 p )}

となる。

九州大学 2018年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

九州大学 2018年度
文系数学前期第4問