九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

部品 $a,b,c$ が不良である事象をそれぞれ $A,B,C$ とする。

(1) 全確率の公式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(B)}& {\displaystyle =P(A)P(B\mid A)+P(A^c)P(B\mid A^c)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3pq+(1-p)q=q(1+2p)}\end{array}$$である。また $P(A\cap B)=3pq$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\cup B)}& {\displaystyle =P(A)+P(B)-P(A\cap B)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p+q-pq}\end{array}$$となる。

(2) $P(C\mid B)=5r$、$P(C\mid B^c)=r$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(C)}& {\displaystyle =5rP(B)+r\{1-P(B)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r\{1+4q(1+2p)\}}\end{array}$$である。

(3) $$P(B\cap C)=P(B)P(C\mid B)=5rq(1+2p)$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(B\mid C)}& {\displaystyle =\frac{P(B\cap C)}{P(C)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5q(1+2p)}{1+4q(1+2p)}}\end{array}$$を得る。

(1) は余事象 $A^c\cap B^c$ を直接計算する。(2)(3) は $B$ の周辺確率を $\beta$ と置き、二段階の確率表として整理する。

(1) $a,b$ がともに良品である確率は$$P(A^c\cap B^c)=P(A^c)P(B^c\mid A^c)=(1-p)(1-q)$$である。したがって少なくとも一方が不良である確率は$$1-(1-p)(1-q)=p+q-pq$$となる。

(2) まず$$\beta =P(B)=3qp+q(1-p)=q(1+2p)$$と置く。部品 $b$ の状態と部品 $c$ の条件付き確率は$$\begin{array}{ccc}& B& B^c\\ \text{確率}& \beta & 1-\beta \\ P(C\mid \cdot )& 5r& r\end{array}$$と整理できる。よって$$P(C)=5r\beta +r(1-\beta )=r\{1+4q(1+2p)\}$$である。

(3) 上の表で $C$ が起こった場合のうち $B$ 側に属する割合を取れば$$P(B\mid C)=\frac{5r\beta }{5r\beta +r(1-\beta )}$$である。$\beta =q(1+2p)$ を代入し、$r$ を約分すると$$P(B\mid C)=\frac{5q(1+2p)}{1+4q(1+2p)}$$となる。