問題
を正の実数とする。半径がそれぞれ，，の3つの球，，と，これらすべてに接する平面がある。ただし，3つの球はすべて平面の同じ側で接しているものとする。すなわち，3つの球のそれぞれの中心を結ぶ線分は，いずれも平面と交わらないものとする。3つの球，，と平面との接点をそれぞれ，，とする。空間において，基点を定め，，，とすると，，であり，とのなす角はである。以下の問いに答えよ。
(1)点を平面上にある点とする。球の中心と点との距離を，球の中心と点との距離をとする。このとき，を最小にする点の位置ベクトルを，，，を用いて表せ。
(2)3つの球，，の中心を通る平面と，平面との交線をとする。を，，と媒介変数を用いて媒介変数表示せよ。
(3)点を直線上にある点とする。球の中心と点との距離を最小にする点の位置ベクトルを，，，を用いて表せ。
方針
解法1
平面 の球側を向く単位法線ベクトル を導入する。(1) は の中心を平面に関して反射し、距離和を直線距離へ変える。(2) は中心平面の法線成分を0にし、(3) は接平面内の射影を直線へ正射影する。
解法2
接平面内で 方向を第1軸に取り、
と座標化する。(1) は反射後の線分比、(2) は法線成分、(3) は1変数二次式の頂点で求める。
解答
解法1
平面 の球がある側を向く単位法線ベクトルを とする。3球の中心を とすれば
である。位置関係の概略は次の通りである。
(1)
を に関して反射した点を とすると
である。平面上の点 では なので、三角不等式の等号が成り立つ、すなわち線分 と の交点で距離和が最小になる。
線分を からの比 で表すと、法線成分は
である。これが0となる を用いて
を得る。
(2)
平面 上の点は
と表せる。これが 上にある条件は
である。、 と置けば交線 は
となる。
(3)
から までの法線距離 は一定なので、 内では接点 と直線 の距離を最小にすればよい。直線上の点との差の平面内成分は
である。ここで
なので、距離の2乗を最小にする値は
である。したがって
を得る。
解法2
平面 内の正規直交基底を とし、
と置く。これは長さ 、なす角 を満たす。
(1)
の反射点は平面の下側 、 は上側 にある。両点を結ぶ線分は、下側から全体の 進んだところで平面と交わる。したがって平面内の座標は
であり、
となる。
(2)
を基準に平面 を
と表す。法線座標が0となる条件 に を代入すると
を得る。
(3)
上の座標では
である。直線 上の点から接点 への平面内距離の2乗は
となる。この二次式は
で最小である。よって
となる。