九州大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

平面 $\alpha$ の球がある側を向く単位法線ベクトルを $\mathit{n}$ とする。3球の中心を $K_1,K_2,K_3$ とすれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{O{K}_1}}& {\displaystyle =\mathit{p}+r\mathit{n},}\\ {\displaystyle \overrightarrow{O{K}_2}}& {\displaystyle =\mathit{p}+\mathit{a}+2r\mathit{n},}\\ {\displaystyle \overrightarrow{O{K}_3}}& {\displaystyle =\mathit{p}+\mathit{b}+3r\mathit{n}}\end{array}$$である。位置関係の概略は次の通りである。

(1) $K_2$ を $\alpha$ に関して反射した点を $K_2^{\mathrm{\prime }}$ とすると$$\overrightarrow{O{K}_2^{\mathrm{\prime }}}=\mathit{p}+\mathit{a}-2r\mathit{n}$$である。平面上の点 $Q$ では $K_{2}Q=K_2^{\mathrm{\prime }}Q$ なので、三角不等式の等号が成り立つ、すなわち線分 $K_2^{\mathrm{\prime }}{K}_3$ と $\alpha$ の交点で距離和が最小になる。

線分を $K_2^{\mathrm{\prime }}$ からの比 $\lambda$ で表すと、法線成分は$$-2r+5r\lambda$$である。これが0となる $\lambda =2\mathrm{/}5$ を用いて$$\overrightarrow{OQ}=\mathit{p}+\frac{3}{5}\mathit{a}+\frac{2}{5}\mathit{b}$$を得る。

(2) 平面 $\beta$ 上の点は$$\mathit{p}+r\mathit{n}+u(\mathit{a}+r\mathit{n})+v(\mathit{b}+2r\mathit{n})$$と表せる。これが $\alpha$ 上にある条件は$$1+u+2v=0$$である。$v=t$、$u=-1-2t$ と置けば交線 $l$ は$$\overrightarrow{OX}=\mathit{p}-\mathit{a}+t(\mathit{b}-2\mathit{a})(t\text{ は実数})$$となる。

(3) $K_2$ から $\alpha$ までの法線距離 $2r$ は一定なので、$\alpha$ 内では接点 $P_2$ と直線 $l$ の距離を最小にすればよい。直線上の点との差の平面内成分は$$-2\mathit{a}+t(\mathit{b}-2\mathit{a})$$である。ここで$$\mathit{a}\cdot \mathit{b}=6r^2,\mathrm{\mid }\mathit{b}-2\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2=28r^2$$なので、距離の2乗を最小にする値は$$t=\frac{2\mathit{a}\cdot (\mathit{b}-2\mathit{a})}{\mathrm{\mid }\mathit{b}-2\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2}=-\frac{6}{7}$$である。したがって$$\overrightarrow{OR}=\mathit{p}+\frac{5}{7}\mathit{a}-\frac{6}{7}\mathit{b}$$を得る。

接平面内で $\mathit{a}$ 方向を第1軸に取り、$$\mathit{a}=3r{\mathit{e}}_1,\mathit{b}=2r{\mathit{e}}_1+2\sqrt{3}r{\mathit{e}}_2$$と座標化する。(1) は反射後の線分比、(2) は法線成分、(3) は1変数二次式の頂点で求める。

平面 $\alpha$ 内の正規直交基底を ${\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2$ とし、$$\mathit{a}=3r{\mathit{e}}_1,\mathit{b}=2r{\mathit{e}}_1+2\sqrt{3}r{\mathit{e}}_2$$と置く。これは長さ $3r,4r$、なす角 ${60}^{\circ }$ を満たす。

(1) $K_2$ の反射点は平面の下側 $2r$、$K_3$ は上側 $3r$ にある。両点を結ぶ線分は、下側から全体の $2\mathrm{/}5$ 進んだところで平面と交わる。したがって平面内の座標は$$\mathit{p}+\mathit{a}+\frac{2}{5}(\mathit{b}-\mathit{a})$$であり、$$\overrightarrow{OQ}=\mathit{p}+\frac{3}{5}\mathit{a}+\frac{2}{5}\mathit{b}$$となる。

(2) $K_1$ を基準に平面 $\beta$ を$$\mathit{p}+r\mathit{n}+u(\mathit{a}+r\mathit{n})+v(\mathit{b}+2r\mathit{n})$$と表す。法線座標が0となる条件 $1+u+2v=0$ に $v=t$ を代入すると$$\overrightarrow{OX}=\mathit{p}-\mathit{a}+t(\mathit{b}-2\mathit{a})$$を得る。

(3) 上の座標では$$\mathit{b}-2\mathit{a}=-4r{\mathit{e}}_1+2\sqrt{3}r{\mathit{e}}_2$$である。直線 $l$ 上の点から接点 $P_2$ への平面内距離の2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D(t{)}^2}& {\displaystyle =r^2\{(-6-4t{)}^2+(2\sqrt{3}t{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r^2(28t^2+48t+36)}\end{array}$$となる。この二次式は$$t=-\frac{48}{56}=-\frac{6}{7}$$で最小である。よって$$\overrightarrow{OR}=\mathit{p}-\mathit{a}-\frac{6}{7}(\mathit{b}-2\mathit{a})=\mathit{p}+\frac{5}{7}\mathit{a}-\frac{6}{7}\mathit{b}$$となる。