九州大学 2020年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

正の定数 $r$ に対して座標空間内の3点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (r, 0, 0)$ ， $B (0, r, 0)$ を定める。また，平面 $y = \frac{1}{2} r$ 上の点 $C$ に対して，線分 $A C$ の中点を $P$ とする。ただし，点 $C$ の $z$ 座標は正である。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) 点 $Q$ は線分 $O B$ 上の点とする。定数 $a, c$ に対し，点 $C$ を位置 $(a, \frac{1}{2} r, c)$ に固定したとき， $∣ P Q ∣$ を最小とする点 $Q$ の座標を求めよ。また，このときの $∣ P Q ∣$ を求めよ。

(2) (1)で求めた点 $Q$ に対して， $P Q$ と $O Q$ のなす角が $90^{\circ}$ であることを示せ。

(3) 点 $C$ は $∣ O A ∣ = ∣ B C ∣$ を満たしながら動くとする。(1)で求めた点 $Q$ と3点 $O, C, P$ を頂点とする四面体の体積が最大となる点 $C$ の座標と，そのときの四面体 $O C P Q$ の体積を求めよ。

出典：九州大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

解法1（座標と行列式で体積を求める）

点 $Q$ を $y$ 軸上の座標で表し、距離の二乗を平方完成して最短点を決める。直交は内積で確認し、四面体の体積は3本の位置ベクトルの行列式で表して、制約円上で最大化する。

解法2（正射影と底面・高さで体積を求める）

$Q$ は点 $P$ の線分 $O B$ への正射影であると捉える。(3)では三角形 $O QC$ を底面に選び、外積で底面積、平面 $O QC$ への点 $P$ の距離で高さを求める。

解答

解法1（座標と行列式で体積を求める）

(1)

点Cを $C = (a, \frac{r}{2}, c)$ とおく。点Aは $A = (r, 0, 0)$ であるから、線分 $A C$ の中点 $P$ は $P = (\frac{r + a}{2}, \frac{r}{4}, \frac{c}{2})$ である。

点 $Q$ は線分 $O B$ 上にあるので $Q = (0, y, 0) (0 ≦ y ≦ r)$ とおける。このとき

∣ P Q ∣^{2} = (\frac{r + a}{2})^{2} + (y - \frac{r}{4})^{2} + (\frac{c}{2})^{2}

である。 $y$ を含むのは $(y - \frac{r}{4})^{2}$ だけであり、 $\frac{r}{4}$ は $[0, r]$ に含まれる。したがって最小となるのは $y = \frac{r}{4}$ のときである。

よって $Q = (0, \frac{r}{4}, 0)$ であり、このときの最小値は $∣ P Q ∣ = \frac{1}{2} (r + a)^{2} + c^{2}$ である。

(2)

(1)で求めた点 $Q$ に対して $P Q = Q - P = (- \frac{r + a}{2}, 0, - \frac{c}{2})$ であり、 $O Q = (0, \frac{r}{4}, 0)$ である。したがって内積は $P Q \cdot O Q = 0$ である。よって $P Q$ と $O Q$ のなす角は $9 0^{\circ}$ である。

(3)

条件 $∣ O A ∣ = ∣ B C ∣$ より、 $O A = r$ であるから $B C^{2} = r^{2}$ である。ここで $B C = (a, - \frac{r}{2}, c)$ なので $a^{2} + \frac{r ^{2}}{4} + c^{2} = r^{2}$ すなわち $a^{2} + c^{2} = \frac{3 r ^{2}}{4}$ である。

四面体 $O C P Q$ の体積を求める。3つのベクトル $O C, O P, O Q$ を用いると

V = \frac{1}{6} det a \frac{r}{2} c \frac{r + a}{2} \frac{r}{4} \frac{c}{2} 0 \frac{r}{4} 0

である。第3列で展開すると

det a \frac{r}{2} c \frac{r + a}{2} \frac{r}{4} \frac{c}{2} 0 \frac{r}{4} 0 = \frac{c r ^{2}}{8}

であるから $V = \frac{c r ^{2}}{48}$ である。 $r$ は正の定数なので、体積を最大にするには $c$ を最大にすればよい。条件 $a^{2} + c^{2} = \frac{3 r ^{2}}{4}, c > 0$ より $c ≦ \frac{3}{2} r$ であり、等号は $a = 0$ のとき成り立つ。したがって体積が最大となる点Cは $C = (0, \frac{r}{2}, \frac{3}{2} r)$ であり、そのときの体積は $\frac{3}{96} r^{3}$ である。

解法2（正射影と底面・高さで体積を求める）

(1)

C = (a, \frac{r}{2}, c), P = (\frac{r + a}{2}, \frac{r}{4}, \frac{c}{2})

である。線分 $O B$ は $y$ 軸上の $0 ≦ y ≦ r$ の部分である。 $P$ の $y$ 座標は $r /4$ で、この範囲内にあるから、 $P$ の直線 $O B$ への正射影は

Q = (0, \frac{r}{4}, 0)

である。したがって

∣ P Q ∣ = (\frac{r + a}{2})^{2} + (\frac{c}{2})^{2} = \frac{1}{2} (r + a)^{2} + c^{2} .

(2)

正射影の性質から $P Q ⊥ O B$ である。一方、 $O Q$ は $O B$ と平行だから

P Q ⊥ O Q

であり、なす角は $9 0^{\circ}$ である。

(3)

$B C = O A = r$ より

a^{2} + (- \frac{r}{2})^{2} + c^{2} = r^{2},

すなわち

a^{2} + c^{2} = \frac{3 r ^{2}}{4}

である。

三角形 $O QC$ を底面に選ぶ。

O Q = (0, \frac{r}{4}, 0), O C = (a, \frac{r}{2}, c)

だから

∣ O Q \times O C ∣ = \frac{r}{4} a^{2} + c^{2} .

よって底面積は

\frac{r}{8} a^{2} + c^{2} .

平面 $O QC$ の法線ベクトルは $(c, 0, - a)$ と平行である。点 $A = (r, 0, 0)$ からこの平面までの距離は

\frac{cr}{a ^{2} + c ^{2}}

である。 $P$ は $A$ と、平面上の点 $C$ の中点なので、 $P$ から平面 $O QC$ までの距離はその半分、

\frac{cr}{2 a ^{2} + c ^{2}}

である。したがって

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{r}{8} a^{2} + c^{2} \cdot \frac{cr}{2 a ^{2} + c ^{2}} = \frac{c r ^{2}}{48} .

制約円の上半分で $c$ が最大となるのは

a = 0, c = \frac{3}{2} r

のときである。よって

C = (0, \frac{r}{2}, \frac{3}{2} r), V_{m a x} = \frac{3}{96} r^{3} .

@@ F I G U R E : t ik z : 1 :

九州大学 2020年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解法1（座標と行列式で体積を求める）

解法2（正射影と底面・高さで体積を求める）

解答

解法1（座標と行列式で体積を求める）

(1)

(2)

(3)

解法2（正射影と底面・高さで体積を求める）

(1)

(2)

(3)

九州大学 2020年度
後期・理系数学後期第3問