九州大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
点Cを $$C=(a,\frac{r}{2},c)$$ とおく。点Aは $A=(r,0,0)$ であるから、線分 $AC$ の中点 $P$ は $$P=(\frac{r+a}{2},\frac{r}{4},\frac{c}{2})$$ である。

点 $Q$ は線分 $OB$ 上にあるので $$Q=(0,y,0)(0\leqq y\leqq r)$$ とおける。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={\left(\frac{r+a}{2}\right)}^2+{(y-\frac{r}{4})}^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2}\end{array}$$である。$y$ を含むのは $(y-\frac{r}{4}{)}^2$ だけであり、$\frac{r}{4}$ は $[0,r]$ に含まれる。したがって最小となるのは $$y=\frac{r}{4}$$ のときである。

よって $${\displaystyle Q=(0,\frac{r}{4},0)}$$ であり、このときの最小値は $${\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}\sqrt{(r+a{)}^2+c^2}}$$ である。

(2)
(1)で求めた点 $Q$ に対して $$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-\frac{r+a}{2},0,-\frac{c}{2})$$ であり、$$\overrightarrow{OQ}=(0,\frac{r}{4},0)$$ である。したがって内積は $$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$$ である。よって $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{OQ}$ のなす角は ${\displaystyle {90}^{\circ }}$ である。

(3)
条件 $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}\mathrm{\mid }$$ より、$OA=r$ であるから $B{C}^2=r^2$ である。ここで $$\overrightarrow{BC}=(a,-\frac{r}{2},c)$$ なので $$a^2+\frac{r^2}{4}+c^2=r^2$$、すなわち$$a^2+c^2=\frac{3r^2}{4}$$である。

三角形 $OPQ$ を底面に選ぶ。(2)より $OQ\perp PQ$ であり、$$OQ=\frac{r}{4},PQ=\frac{1}{2}\sqrt{(r+a{)}^2+c^2}$$だから、その面積は$$\mathrm{△}OPQ=\frac{1}{2}\cdot \frac{r}{4}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{(r+a{)}^2+c^2}=\frac{r}{16}\sqrt{(r+a{)}^2+c^2}\mathrm{.}$$平面 $OPQ$ は $y$ 軸と点$$P=(\frac{r+a}{2},\frac{r}{4},\frac{c}{2})$$を含むので、その方程式は$$cx-(r+a)z=0$$である。したがって、点 $$C=(a,\frac{r}{2},c)$$ から平面 $OPQ$ までの距離は$$\frac{\mathrm{\mid }ca-(r+a)c\mathrm{\mid }}{\sqrt{c^2+(r+a{)}^2}}=\frac{cr}{\sqrt{(r+a{)}^2+c^2}}\mathrm{.}$$よって四面体 $OCPQ$ の体積は$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{r}{16}\sqrt{(r+a{)}^2+c^2}\cdot \frac{cr}{\sqrt{(r+a{)}^2+c^2}}=\frac{c{r}^2}{48}\mathrm{.}$$$r$ は正の定数なので、体積を最大にするには $c$ を最大にすればよい。条件$$a^2+c^2=\frac{3r^2}{4},c>0$$より$$c\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}r$$であり、等号は $a=0$ のとき成り立つ。したがって体積が最大となる点 $C$ は$$C=(0,\frac{r}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}r)$$であり、そのときの体積は$$V_{\max }=\frac{\sqrt{3}}{96}{r}^3$$である。

$Q$ は点 $P$ の線分 $OB$ への正射影であると捉える。(3)では三角形 $OQC$ を底面に選び、辺 $OQ$ と点 $C$ から $y$ 軸までの距離で底面積を求め、平面 $OQC$ への点 $P$ の距離を高さとする。

(1) $$C=(a,\frac{r}{2},c),P=(\frac{r+a}{2},\frac{r}{4},\frac{c}{2})$$である。線分 $OB$ は $y$ 軸上の $0\leqq y\leqq r$ の部分である。$P$ の $y$ 座標は $r\mathrm{/}4$ で、この範囲内にあるから、$P$ の直線 $OB$ への正射影は$$Q=(0,\frac{r}{4},0)$$である。したがって$$\mathrm{\mid }PQ\mathrm{\mid }=\sqrt{{\left(\frac{r+a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(r+a{)}^2+c^2}\mathrm{.}$$(2)
正射影の性質から $PQ\perp OB$ である。一方、$\overrightarrow{OQ}$ は $OB$ と平行だから$$PQ\perp OQ$$であり、なす角は ${90}^{\circ }$ である。

(3)
$BC=OA=r$ より$$a^2+{(-\frac{r}{2})}^2+c^2=r^2,$$すなわち$$a^2+c^2=\frac{3r^2}{4}$$である。

三角形 $OQC$ を底面に選ぶ。辺 $OQ$ は $y$ 軸上にあり、その長さは $r\mathrm{/}4$ である。また、点 $C$ から $y$ 軸までの距離は$$\sqrt{a^2+c^2}$$である。したがって底面積は$$\mathrm{△}OQC=\frac{1}{2}\cdot \frac{r}{4}\cdot \sqrt{a^2+c^2}=\frac{r}{8}\sqrt{a^2+c^2}\mathrm{.}$$平面 $OQC$ の法線ベクトルは $(c,0,-a)$ と平行である。点 $A=(r,0,0)$ からこの平面までの距離は$$\frac{cr}{\sqrt{a^2+c^2}}$$である。$P$ は $A$ と、平面上の点 $C$ の中点なので、$P$ から平面 $OQC$ までの距離はその半分、$$\frac{cr}{2\sqrt{a^2+c^2}}$$である。したがって$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{r}{8}\sqrt{a^2+c^2}\cdot \frac{cr}{2\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{c{r}^2}{48}\mathrm{.}$$制約円の上半分で $c$ が最大となるのは$$a=0,c=\frac{\sqrt{3}}{2}r$$のときである。よって$$C=(0,\frac{r}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}r),V_{\max }=\frac{\sqrt{3}}{96}{r}^3\mathrm{.}$$