九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$$\vec{u}=\overrightarrow{OA},\vec{v}=\overrightarrow{OB},\vec{w}=\overrightarrow{OC}$$とおく。また $$U=\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2,V=\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2,W=\mathrm{\mid }\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2$$ $$\alpha =\vec{u}\cdot \vec{v},\beta =\vec{v}\cdot \vec{w},\gamma =\vec{w}\cdot \vec{u}$$とする。

直線 $l,m,n$ の方向ベクトルは、それぞれ$$\vec{v}+\vec{w}-\vec{u},\vec{w}+\vec{u}-\vec{v},\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}$$としてよい。例えば $l$ は $OA$ の中点 $\frac{1}{2}\vec{u}$ と $BC$ の中点 $\frac{1}{2}(\vec{v}+\vec{w})$ を結ぶからである。

また、与えられた辺の長さから $$U+V-2\alpha =5,V+W-2\beta =3,W+U-2\gamma =4$$ である。

直交条件を内積で書くと $$(\vec{v}+\vec{w}-\vec{u})\cdot (\vec{w}+\vec{u}-\vec{v})=0$$ より $2\alpha -U-V+W=0$ である。したがって $W=U+V-2\alpha =5$ を得る。同様に $$(\vec{w}+\vec{u}-\vec{v})\cdot (\vec{u}+\vec{v}-\vec{w})=0$$ から $U=V+W-2\beta =3$ であり、$$(\vec{u}+\vec{v}-\vec{w})\cdot (\vec{v}+\vec{w}-\vec{u})=0$$ から $V=W+U-2\gamma =4$ である。

よって $$U=3,V=4,W=5$$ である。さらに$$\alpha =\frac{U+V-5}{2}=1,\beta =\frac{V+W-3}{2}=3,\gamma =\frac{W+U-4}{2}=2$$となる。

(1)
直線 $OB$ の方向ベクトルは $\vec{v}$ であり、直線 $CA$ の方向ベクトルは $\vec{u}-\vec{w}$ としてよい。したがって、なす角 $\theta$ の余弦は$$\cos \theta =\frac{\mathrm{\mid }\vec{v}\cdot (\vec{u}-\vec{w})\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{u}-\vec{w}\mathrm{\mid }}$$である。ここで $$\vec{v}\cdot (\vec{u}-\vec{w})=\alpha -\beta =1-3=-2$$ であり、$$\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=\sqrt{V}=2,\mathrm{\mid }\vec{u}-\vec{w}\mathrm{\mid }=CA=2$$ だから $$\cos \theta =\frac{2}{2\cdot 2}=\frac{1}{2}$$ である。$$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$$ より $${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{3}}$$ である。

(2)
外接球の中心を表すベクトルを $\vec{x}$ とする。点Oと点Aから等距離である条件は $$\mathrm{\mid }\vec{x}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{x}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2$$ であり、これは $$\vec{x}\cdot \vec{u}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2}{2}=\frac{3}{2}$$ と同値である。同様に $$\vec{x}\cdot \vec{v}=2,\vec{x}\cdot \vec{w}=\frac{5}{2}$$ である。

ここで $$\vec{x}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{4}$$ とおくと $$\vec{x}\cdot \vec{u}=\frac{U+\alpha +\gamma }{4}=\frac{3+1+2}{4}=\frac{3}{2}$$ であり、同様に $$\vec{x}\cdot \vec{v}=\frac{\alpha +V+\beta }{4}=\frac{1+4+3}{4}=2$$ $$\vec{x}\cdot \vec{w}=\frac{\gamma +\beta +W}{4}=\frac{2+3+5}{4}=\frac{5}{2}$$ である。したがってこの $\vec{x}$ が外接球の中心である。

外接球の半径 $R$ は $R=\mathrm{\mid }\vec{x}\mathrm{\mid }$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R^2}& {\displaystyle ={\mid \frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{4}\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{U+V+W+2\alpha +2\beta +2\gamma }{16}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3+4+5+2+6+4}{16}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{2}}\end{array}$$である。よって求める半径は $${\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}}$$ である。

中点連結線の方向ベクトルを $\vec{L},\vec{M},\vec{N}$ と置くと、仮定より互いに直交する。頂点ベクトルをこの3本で逆表示し、辺長から $\mathrm{\mid }\vec{L}{\mathrm{\mid }}^2,\mathrm{\mid }\vec{M}{\mathrm{\mid }}^2,\mathrm{\mid }\vec{N}{\mathrm{\mid }}^2$ を直接決める。直交基底なので角度も外接球半径もピタゴラス型に計算できる。

$$\vec{u}=\overrightarrow{OA},\vec{v}=\overrightarrow{OB},\vec{w}=\overrightarrow{OC}$$とする。3本の中点連結線の方向ベクトルを$$\vec{L}=\vec{v}+\vec{w}-\vec{u},\vec{M}=\vec{w}+\vec{u}-\vec{v},\vec{N}=\vec{u}+\vec{v}-\vec{w}$$とおく。仮定より $\vec{L},\vec{M},\vec{N}$ は互いに直交する。

これらを逆に解くと$$\vec{u}=\frac{\vec{M}+\vec{N}}{2},\vec{v}=\frac{\vec{N}+\vec{L}}{2},\vec{w}=\frac{\vec{L}+\vec{M}}{2}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{B}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{u}-\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{\mathrm{\mid }\vec{M}-\vec{L}{\mathrm{\mid }}^2}{4}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{M}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{L}{\mathrm{\mid }}^2}{4}=5,}\\ {\displaystyle B{C}^2}& {\displaystyle =\frac{\mathrm{\mid }\vec{N}-\vec{M}{\mathrm{\mid }}^2}{4}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{N}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{M}{\mathrm{\mid }}^2}{4}=3,}\\ {\displaystyle C{A}^2}& {\displaystyle =\frac{\mathrm{\mid }\vec{L}-\vec{N}{\mathrm{\mid }}^2}{4}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{L}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{N}{\mathrm{\mid }}^2}{4}=4.}\end{array}$$よって$$\mathrm{\mid }\vec{L}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{M}{\mathrm{\mid }}^2=20,\mathrm{\mid }\vec{M}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{N}{\mathrm{\mid }}^2=12,\mathrm{\mid }\vec{N}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{L}{\mathrm{\mid }}^2=16.$$これを解いて$$\mathrm{\mid }\vec{L}{\mathrm{\mid }}^2=12,\mathrm{\mid }\vec{M}{\mathrm{\mid }}^2=8,\mathrm{\mid }\vec{N}{\mathrm{\mid }}^2=4$$を得る。

(1)
直線 $OB$ の方向は$$\vec{v}=\frac{\vec{N}+\vec{L}}{2},$$直線 $CA$ の方向は$$\vec{u}-\vec{w}=\frac{\vec{N}-\vec{L}}{2}$$である。したがって$$\mid \vec{v}\cdot (\vec{u}-\vec{w})\mid =\frac{\mid \mathrm{\mid }\vec{N}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\vec{L}{\mathrm{\mid }}^2\mid }{4}=2.$$また$$\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{4+12}{4}=4,\mathrm{\mid }\vec{u}-\vec{w}\mathrm{\mid }=CA=2$$だから$$\cos \theta =\frac{2}{2\cdot 2}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ より$$\theta =\frac{\pi }{3}$$である。

(2)
点$$\vec{x}=\frac{\vec{L}+\vec{M}+\vec{N}}{4}$$を考える。直交性より$$\mathrm{\mid }\vec{x}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{\mathrm{\mid }\vec{L}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{M}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{N}{\mathrm{\mid }}^2}{16}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$一方、$$\vec{x}-\vec{u}=\frac{\vec{L}-\vec{M}-\vec{N}}{4}$$であり、符号が変わっても直交成分の二乗和は同じなので$$\mathrm{\mid }\vec{x}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$$\vec{v},\vec{w}$ についても同様である。したがって $\vec{x}$ は $O,A,B,C$ から等距離にあり、外接球の中心である。半径は$$R=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$となる。