九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $f(x)$、$g(x)$ は0でないので、それぞれの次数を $$m=\mathrm{deg}f,n=\mathrm{deg}g$$ とおく。第1式 $f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7$ では、左辺の次数は $2m$ であり、右辺の最高次項は $x^{2}g(x)$ から出るので次数は $n+2$ である。したがって $2m=n+2$ が成り立つ。特に $n=2m-2$ である。

ここで $m\geqq 3$ と仮定する。このとき $n=2m-2\geqq 4$ である。第2式 $$g(x^3)=x^{4}f(x)-3x^{2}g(x)-6x^2-2$$ の左辺の次数は $3n=6m-6$ である。一方、右辺の次数は高くても $$\max (m+4,n+2)=\max (m+4,2m)$$ である。 $m=3$ なら左辺の次数は $12$、右辺の次数は高くても $7$ で矛盾する。$m\geqq 4$ なら $\max (m+4,2m)=2m$ であるから、次数の一致には $6m-6\leqq 2m$ が必要である。しかしこれは $m\leqq \frac{3}{2}$ を意味し、$m\geqq 4$ に反する。したがって $m\geqq 3$ は不可能であり、$\mathrm{deg}f=m\leqq 2$ である。さらに $n=2m-2$ より $\mathrm{deg}g=n\leqq 2$ も従う。

(2)
(1)より $$f(x)=A{x}^2+Bx+C,g(x)=D{x}^2+Ex+F$$ とおける。第1式に代入すると $$A{x}^4+B{x}^2+C=(x^2+2)(D{x}^2+Ex+F)+7$$ である。右辺を展開して係数を比較すると $$A=D,E=0,B=F+2D,C=2F+7$$ を得る。

次に第2式へ代入する。$E=0$ なので $g(x^3)=D{x}^6+F$ であり、右辺は $x^4(A{x}^2+Bx+C)-3x^2(D{x}^2+F)-6x^2-2$ である。これを整理すると $A{x}^6+B{x}^5+(C-3D)x^4-(3F+6)x^2-2$ である。係数比較により $$D=A,B=0,C=3D,3F+6=0,F=-2$$ となる。よって $F=-2,C=2F+7=3$ であり、さらに $C=3D$ から $D=1,A=1$ を得る。また $B=0$、$E=0$ である。したがって $$f(x)=x^2+3,g(x)=x^2-2$$ である。

次数比較で2次以下を示した後、第1式の偶奇性を利用して $g$ を最初から偶関数として置く。未知係数を2個まで減らし、第2式の係数比較を短く行う。

(1)
$m=\mathrm{deg}f$、$n=\mathrm{deg}g$ とする。第1式の最高次数を比べると$$2m=n+2$$である。特に $n=2m-2$ である。もし $m\geqq 3$ なら、第2式の左辺の次数は$$3n=6m-6$$である。一方、右辺の次数は高くても$$\max (m+4,n+2)=\max (m+4,2m)\leqq 2m+1$$である。$m\geqq 3$ では $6m-6>2m+1$ だから矛盾する。よって $m\leqq 2$、さらに $n=2m-2\leqq 2$ である。

(2)
第1式の左辺と定数7は偶関数であり、$x^2+2$ は0にならないから、$g(x)$ も偶関数である。(1)より$$g(x)=u{x}^2+v$$とおける。第1式は$$f(x^2)=u{x}^4+(v+2u)x^2+2v+7$$となるので、文字 $X=x^2$ を用いれば$$f(X)=u{X}^2+(v+2u)X+2v+7$$である。これを第2式へ代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u{x}^6+v}& {\displaystyle =u{x}^6+(v+2u)x^5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(2v+7-3u)x^4-(3v+6)x^2-2}\end{array}$$を得る。係数比較により$$v+2u=0,2v+7-3u=0,-3v-6=0$$だから、$v=-2$、$u=1$ である。したがって$$f(x)=x^2+3,g(x)=x^2-2$$である。