九州大学 2019年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

解法1

(1)

曲線を $y=3e^{-2x}$ とおくと $y^{\prime }=-6e^{-2x}$ である。したがって点 $P(t,3e^{-2t})$ における接線の傾きは $-6e^{-2t}$ であり、接線の方程式は $y-3e^{-2t}=-6e^{-2t}(x-t)$ である。整理して $y=-6e^{-2t}x+3e^{-2t}(1+2t)$ を得る。

(2)

$y=3e^{-2x}$ は $y^{\prime \prime }=12e^{-2x}>0$ を満たすので下に凸であり、曲線は接線より上にある。よって、曲線、接線、$y$ 軸で囲まれた面積は $S_1={\int }_0^t\{3e^{-2x}-[-6e^{-2t}x+3e^{-2t}(1+2t)]\}dx$ である。すなわち $S_1={\int }_0^t\{3e^{-2x}+6e^{-2t}x-3e^{-2t}(1+2t)\}dx$ である。

各項を積分すると ${\int }_0^{t}3e^{-2x}dx=\frac{3}{2}(1-e^{-2t}),$ ${\int }_0^{t}6e^{-2t}xdx=3t^2{e}^{-2t},$ ${\int }_0^{t}3e^{-2t}(1+2t)dx=3t(1+2t)e^{-2t}$ である。したがって

である。

(3)

接線の $y$ 切片は $3e^{-2t}(1+2t)$ である。また、接線の方程式で $y=0$ とすると $0=-6e^{-2t}x+3e^{-2t}(1+2t)$ より、$x$ 切片は $\frac{1+2t}{2}$ である。したがって

である。

これを微分すると

となる。$t>0$ で $e^{-2t}>0$、$1+2t>0$ だから、$S_2^{\prime }$ の符号は $1-2t$ の符号で決まる。よって $S_2$ は $t=\frac{1}{2}$ で最大となる。そのとき $S_2=\frac{3}{4}{e}^{-1}\cdot 4=\frac{3}{e}$ である。

(4)

(2)、(3)より $S_1+S_2=\frac{3}{2}\{1-(2t^2+2t+1)e^{-2t}\}+\frac{3}{4}{e}^{-2t}(1+2t{)}^2$ である。$t\to \infty$ のとき、$t^2{e}^{-2t}$、$t{e}^{-2t}$、$e^{-2t}$ はいずれも0に近づく。したがって指数関数を含む項はすべて0に近づき、${\lim }_{t\to \infty }(S_1+S_2)=\frac{3}{2}$ である。

解法2

(1)

接点での微分係数は $-6e^{-2t}$ だから、接線は

である。

(2)

曲線は下に凸なので、曲線と接線の差を積分して

を得る。

(3)

接線の $x$ 切片と $y$ 切片は

だから

である。$u=1+2t>1$ とおけば

であり、

より $u=2$、すなわち $t=1/2$ で最大となる。最大値は $3/e$ である。

(4)

2つの面積を足すと高次項が相殺して

となる。したがって

である。