九州大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
曲線を $y=3e^{-2x}$ とおくと $y^{\mathrm{\prime }}=-6e^{-2x}$ である。したがって点 $P(t,3e^{-2t})$ における接線の傾きは $-6e^{-2t}$ であり、接線の方程式は $$y-3e^{-2t}=-6e^{-2t}(x-t)$$ である。整理して $$y=-6e^{-2t}x+3e^{-2t}(1+2t)$$ を得る。

(2) $y=3e^{-2x}$ は $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=12e^{-2x}>0$ を満たすので下に凸であり、曲線は接線より上にある。よって、曲線、接線、$y$ 軸で囲まれた面積は $$S_1={\int }_0^t\{3e^{-2x}-[-6e^{-2t}x+3e^{-2t}(1+2t)]\}dx$$ である。すなわち $$S_1={\int }_0^t\{3e^{-2x}+6e^{-2t}x-3e^{-2t}(1+2t)\}dx$$ である。

各項を積分すると $${\int }_0^{t}3e^{-2x}dx=\frac{3}{2}(1-e^{-2t}),$$ $${\int }_0^{t}6e^{-2t}xdx=3t^2{e}^{-2t},$$ $${\int }_0^{t}3e^{-2t}(1+2t)dx=3t(1+2t)e^{-2t}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle =\frac{3}{2}(1-e^{-2t})+3t^2{e}^{-2t}-3t(1+2t)e^{-2t}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{2}\{1-(2t^2+2t+1)e^{-2t}\}}\end{array}$$である。

(3)
接線の $y$ 切片は $3e^{-2t}(1+2t)$ である。また、接線の方程式で $y=0$ とすると $$0=-6e^{-2t}x+3e^{-2t}(1+2t)$$ より、$x$ 切片は $\frac{1+2t}{2}$ である。したがって$$S_2=\frac{1}{2}\cdot 3e^{-2t}(1+2t)\cdot \frac{1+2t}{2}=\frac{3}{4}{e}^{-2t}(1+2t{)}^2$$である。

これを微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =\frac{3}{4}{e}^{-2t}\{4(1+2t)-2(1+2t{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{2}{e}^{-2t}(1+2t)(1-2t)}\end{array}$$となる。$t>0$ で $e^{-2t}>0$、$1+2t>0$ だから、$S_2^{\mathrm{\prime }}$ の符号は $1-2t$ の符号で決まる。よって $S_2$ は $t=\frac{1}{2}$ で最大となる。そのとき $$S_2=\frac{3}{4}{e}^{-1}\cdot 4=\frac{3}{e}$$ である。

(4)
(2)、(3)より $$S_1+S_2=\frac{3}{2}\{1-(2t^2+2t+1)e^{-2t}\}+\frac{3}{4}{e}^{-2t}(1+2t{)}^2$$ である。$t\to \mathrm{\infty }$ のとき、$t^2{e}^{-2t}$、$t{e}^{-2t}$、$e^{-2t}$ はいずれも0に近づく。したがって指数関数を含む項はすべて0に近づき、$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_1+S_2)=\frac{3}{2}$$ である。

接線の切片から三角形面積を求め、$u=1+2t$ と置いて最大化する。最後は $S_1+S_2$ を先に整理すると高次の項が相殺することを利用する。

(1)
接点での微分係数は $-6e^{-2t}$ だから、接線は$$y=3e^{-2t}\{1+2t-2x\}$$である。

(2)
曲線は下に凸なので、曲線と接線の差を積分して$$S_1={\int }_0^t[3e^{-2x}-3e^{-2t}\{1+2t-2x\}]dx=\frac{3}{2}\{1-(2t^2+2t+1)e^{-2t}\}$$を得る。

(3)
接線の $x$ 切片と $y$ 切片は$$\frac{1+2t}{2},3e^{-2t}(1+2t)$$だから$$S_2=\frac{3}{4}{e}^{-2t}(1+2t{)}^2$$である。$u=1+2t>1$ とおけば$$S_2=\frac{3e}{4}{u}^2{e}^{-u}$$であり、$$\frac{d}{du}(u^2{e}^{-u})=u(2-u)e^{-u}$$より $u=2$、すなわち $t=1\mathrm{/}2$ で最大となる。最大値は $3\mathrm{/}e$ である。

(4)
2つの面積を足すと高次項が相殺して$$S_1+S_2=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}{e}^{-2t}$$となる。したがって$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_1+S_2)=\frac{3}{2}$$である。