九州大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
はじめ袋には赤2個、青3個が入っている。

1回目に赤を取り出す確率は $\frac{2}{5}$ である。このとき、赤りんご1個がかごから袋に移るので、2回目の直前の袋の中身は赤3個、青3個である。したがって、この場合に2回目が赤である確率は $\frac{3}{6}$ である。

1回目に青を取り出す確率は $\frac{3}{5}$ である。このとき、2回目の直前の袋の中身は赤2個、青4個である。したがって、この場合に2回目が赤である確率は $\frac{2}{6}$ である。

よって求める確率は$$\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{6}+\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{6}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$$である。

(2)
「1回目が青、2回目が赤」である確率は $$\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{6}=\frac{1}{5}$$ である。(1)より「2回目が赤」である確率は $\frac{2}{5}$ であるから、求める条件付き確率は $$\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{2}$$ である。

(3)
かごは最初、赤2個、青3個を含む。かごに赤1個、青1個が残るためには、かごから袋へ赤を1回、青を2回移せばよい。したがって、最初の3回の試行で赤が1回、青が2回取り出される確率を求めればよい。

例えば順序が赤、青、青である確率は $\frac{a}{a+b}\cdot \frac{b}{a+b+1}\cdot \frac{b+1}{a+b+2}$ である。順序が青、赤、青や青、青、赤でも、分子には同じく $a$、$b$、$b+1$ が1回ずつ現れ、分母は $(a+b)(a+b+1)(a+b+2)$ で同じである。赤1回、青2回の順序は3通りあるから、求める確率は $\frac{3ab(b+1)}{(a+b)(a+b+1)(a+b+2)}$ である。

(4)
最初、袋には赤1個、青1個が入っている。かごに赤1個、青1個が残るには、赤を $c-1$ 回、青を $d-1$ 回、かごから袋に移せばよい。したがって試行回数は $(c-1)+(d-1)=c+d-2$ 回である。

この $c+d-2$ 回のうち、赤を選ぶ位置を決める方法は ${}_{c+d-2}{\mathrm{C}}_{c-1}$ 通りである。1つの順序を固定すると、赤が選ばれるたびに袋の赤の個数は $1,2,\dots ,c-1$ と現れ、青が選ばれるたびに袋の青の個数は $1,2,\dots ,d-1$ と現れる。一方、各回の袋全体の個数は $2,3,\dots ,c+d-1$ である。したがって固定した1つの順序の確率は $\frac{(c-1)!(d-1)!}{(c+d-1)!}$ である。

よって求める確率は$${}_{c+d-2}{\mathrm{C}}_{c-1}\frac{(c-1)!(d-1)!}{(c+d-1)!}=\frac{(c+d-2)!}{(c-1)!(d-1)!}\frac{(c-1)!(d-1)!}{(c+d-1)!}=\frac{1}{c+d-1}$$である。

赤を $r$ 回、青を $s$ 回選ぶ固定順序の確率が順序によらないことを一般式にする。その式を前半の2段階と後半の必要回数へ一貫して適用する。

赤を $r$ 回、青を $s$ 回選ぶ順序を1つ固定する。各回の分子を同色ごとにまとめると、その順序の確率は$$\frac{a(a+1)\cdots (a+r-1)b(b+1)\cdots (b+s-1)}{(a+b)(a+b+1)\cdots (a+b+r+s-1)}$$であり、並ぶ順序にはよらない。

(1)
最初が赤、青の2場合に分けると$$\mathrm{Pr}(\text{2回目が赤})=\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{6}+\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{6}=\frac{2}{5}$$である。

(2) $$\mathrm{Pr}(\text{1回目が青かつ2回目が赤})=(3\mathrm{/}5)(2\mathrm{/}6)=1\mathrm{/}5$$ だから、条件付き確率は$$\frac{1\mathrm{/}5}{2\mathrm{/}5}=\frac{1}{2}$$である。

(3)
かごを赤1個、青1個にするには、最初の3回で赤を1回、青を2回選ぶ。順序は3通りなので、一般式から$$3\cdot \frac{ab(b+1)}{(a+b)(a+b+1)(a+b+2)}$$である。

(4)
今度は初期値 $a=b=1$ とし、赤を $c-1$ 回、青を $d-1$ 回選ぶ。全 $c+d-2$ 回における順序数は ${}_{c+d-2}{\mathrm{C}}_{c-1}$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {}_{c+d-2}{\mathrm{C}}_{c-1}\frac{(c-1)!(d-1)!}{(c+d-1)!}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{c+d-1}}\end{array}$$である。