九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$$J(x,y)={\int }_0^1\{\sin (2n\pi t)-xt-y{\}}^{2}dt$$ とおく。まず必要な積分を求める。 $${\int }_0^1{\sin }^2(2n\pi t)dt=\frac{1}{2}$$ であり、また $n$ が自然数なので $${\int }_0^1\sin (2n\pi t)dt=0$$ である。さらに部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1}t\sin (2n\pi t)dt}& {\displaystyle ={[-\frac{t\cos (2n\pi t)}{2n\pi }]}_0^1+{\int }_0^1\frac{\cos (2n\pi t)}{2n\pi }dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{2n\pi }}\end{array}$$である。もちろん $${\int }_0^{1}tdt=\frac{1}{2},{\int }_0^1{t}^{2}dt=\frac{1}{3}$$ である。

これらを用いて $J(x,y)$ を展開する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J(x,y)}& {\displaystyle =\frac{1}{2}-2x{\int }_0^{1}t\sin (2n\pi t)dt-2y{\int }_0^1\sin (2n\pi t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_0^1(x^2{t}^2+2xyt+y^2)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{x}{n\pi }+\frac{x^2}{3}+xy+y^2}\end{array}$$である。

これは $x,y$ に関する下に凸の2次式である。最小となる点では $$\frac{\mathrm{\partial }J}{\mathrm{\partial }x}=\frac{1}{n\pi }+\frac{2x}{3}+y=0$$ かつ $$\frac{\mathrm{\partial }J}{\mathrm{\partial }y}=x+2y=0$$ が成り立つ。第2式より $$y=-\frac{x}{2}$$ であり、これを第1式に代入すると $$\frac{1}{n\pi }+\frac{2x}{3}-\frac{x}{2}=0$$ すなわち $$\frac{1}{n\pi }+\frac{x}{6}=0$$ である。よって $$x=-\frac{6}{n\pi },y=\frac{3}{n\pi }$$ を得る。

このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_n}& {\displaystyle =J(-\frac{6}{n\pi },\frac{3}{n\pi })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}-\frac{6}{n^2{\pi }^2}+\frac{12}{n^2{\pi }^2}-\frac{18}{n^2{\pi }^2}+\frac{9}{n^2{\pi }^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}-\frac{3}{n^2{\pi }^2}}\end{array}$$である。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n=\frac{1}{2}$$ である。

別解。最小条件は、誤差 $\sin (2n\pi t)-xt-y$ が $1$ と $t$ のどちらにも直交することと考えてもよい。すなわち$${\int }_0^1\{\sin (2n\pi t)-xt-y\}dt=0,{\int }_0^{1}t\{\sin (2n\pi t)-xt-y\}dt=0$$を解くと、同じく $x=-\frac{6}{n\pi }$、$y=\frac{3}{n\pi }$ が得られる。

一次関数の空間を、互いに直交する $1$ と $t-1\mathrm{/}2$ で張る。正射影の係数を内積から求め、ピタゴラスの関係で最小二乗誤差を直接計算する。

区間 $[0,1]$ 上の内積を$$⟨u,v⟩={\int }_0^{1}u(t)v(t)dt$$とする。$1$ と $t-1\mathrm{/}2$ は直交し、$${\parallel t-\frac{1}{2}\parallel }^2={\int }_0^1{(t-\frac{1}{2})}^{2}dt=\frac{1}{12}$$である。また $s_n(t)=\sin (2n\pi t)$ とおくと$$⟨s_n,1⟩=0,⟨s_n,t-\frac{1}{2}⟩=-\frac{1}{2n\pi }$$である。

一次関数は$$xt+y=x(t-\frac{1}{2})+(y+\frac{x}{2})$$と書ける。したがって最良近似の係数は正射影から$$x=\frac{-1\mathrm{/}(2n\pi )}{1\mathrm{/}12}=-\frac{6}{n\pi },y+\frac{x}{2}=0$$であり、$y=3\mathrm{/}(n\pi )$ となる。さらに$$\mathrm{\parallel }{s}_n{\mathrm{\parallel }}^2={\int }_0^1{\sin }^2(2n\pi t)dt=\frac{1}{2}$$であるから、正射影で取り除かれる成分の2乗は$$\frac{{\mid -1\mathrm{/}(2n\pi )\mid }^2}{1\mathrm{/}12}=\frac{3}{n^2{\pi }^2}$$である。よって$$I_n=\frac{1}{2}-\frac{3}{n^2{\pi }^2}$$となり、求める極限は$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n=\frac{1}{2}$$である。