九州大学 2019年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする。 $x$ ， $y$ がすべての実数を動くとき，定積分

\int_{0}^{1} (sin (2 nπ t) - x t - y)^{2} d t

の最小値を $I_{n}$ とおく。極限 $n \to \infty lim I_{n}$ を求めよ。

出典：九州大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

解法1

与えられた積分は、関数 $sin (2 nπ t)$ を一次関数 $x t + y$ で近似したときの二乗誤差である。 $x, y$ に関する2次式として展開し、必要な積分 $\int_{0}^{1} sin^{2} (2 nπ t) d t$ 、 $\int_{0}^{1} sin (2 nπ t) d t$ 、 $\int_{0}^{1} t sin (2 nπ t) d t$ を先に求める。最小条件は2変数2次式の偏微分、または平方完成に相当する連立一次方程式で与えられる。最小値を代入で求め、最後に $n \to \infty$ を取る。

解法2

一次関数の空間を、互いに直交する $1$ と $t - 1/2$ で張る。正射影の係数を内積から求め、ピタゴラスの関係で最小二乗誤差を直接計算する。

解答

解法1

$J (x, y) = \int_{0}^{1} {sin (2 nπ t) - x t - y}^{2} d t$ とおく。まず必要な積分を求める。 $\int_{0}^{1} sin^{2} (2 nπ t) d t = \frac{1}{2}$ であり、また $n$ が自然数なので $\int_{0}^{1} sin (2 nπ t) d t = 0$ である。さらに部分積分により

\int_{0}^{1} t sin (2 nπ t) d t = [- \frac{t cos ( 2 nπ t )}{2 nπ}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{cos ( 2 nπ t )}{2 nπ} d t = - \frac{1}{2 nπ}

である。もちろん $\int_{0}^{1} t d t = \frac{1}{2}, \int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3}$ である。

これらを用いて $J (x, y)$ を展開する。

J (x, y) = \frac{1}{2} - 2 x \int_{0}^{1} t sin (2 nπ t) d t - 2 y \int_{0}^{1} sin (2 nπ t) d t + \int_{0}^{1} (x^{2} t^{2} + 2 x y t + y^{2}) d t = \frac{1}{2} + \frac{x}{nπ} + \frac{x ^{2}}{3} + x y + y^{2}

である。

これは $x, y$ に関する下に凸の2次式である。最小となる点では $\frac{\partial J}{\partial x} = \frac{1}{nπ} + \frac{2 x}{3} + y = 0$ かつ $\frac{\partial J}{\partial y} = x + 2 y = 0$ が成り立つ。第2式より $y = - \frac{x}{2}$ であり、これを第1式に代入すると $\frac{1}{nπ} + \frac{2 x}{3} - \frac{x}{2} = 0$ すなわち $\frac{1}{nπ} + \frac{x}{6} = 0$ である。よって $x = - \frac{6}{nπ}, y = \frac{3}{nπ}$ を得る。

このとき

I_{n} = J (- \frac{6}{nπ}, \frac{3}{nπ}) = \frac{1}{2} - \frac{6}{n ^{2} π ^{2}} + \frac{12}{n ^{2} π ^{2}} - \frac{18}{n ^{2} π ^{2}} + \frac{9}{n ^{2} π ^{2}} = \frac{1}{2} - \frac{3}{n ^{2} π ^{2}}

である。したがって $lim_{n \to \infty} I_{n} = \frac{1}{2}$ である。

別解。最小条件は、誤差 $sin (2 nπ t) - x t - y$ が $1$ と $t$ のどちらにも直交することと考えてもよい。すなわち

\int_{0}^{1} {sin (2 nπ t) - x t - y} d t = 0, \int_{0}^{1} t {sin (2 nπ t) - x t - y} d t = 0

を解くと、同じく $x = - \frac{6}{nπ}$ 、 $y = \frac{3}{nπ}$ が得られる。

解法2

区間 $[0, 1]$ 上の内積を

⟨ u, v ⟩ = \int_{0}^{1} u (t) v (t) d t

とする。 $1$ と $t - 1/2$ は直交し、

t - \frac{1}{2}^{2} = \int_{0}^{1} (t - \frac{1}{2})^{2} d t = \frac{1}{12}

である。また $s_{n} (t) = sin (2 nπ t)$ とおくと

⟨ s_{n}, 1 ⟩ = 0, ⟨ s_{n}, t - \frac{1}{2} ⟩ = - \frac{1}{2 nπ}

である。

一次関数は

x t + y = x (t - \frac{1}{2}) + (y + \frac{x}{2})

と書ける。したがって最良近似の係数は正射影から

x = \frac{- 1/ ( 2 nπ )}{1/12} = - \frac{6}{nπ}, y + \frac{x}{2} = 0

であり、 $y = 3/ (nπ)$ となる。さらに

∥ s_{n} ∥^{2} = \int_{0}^{1} sin^{2} (2 nπ t) d t = \frac{1}{2}

であるから、正射影で取り除かれる成分の2乗は

\frac{∣ - 1/ ( 2 nπ ) ∣ ^{2}}{1/12} = \frac{3}{n ^{2} π ^{2}}

である。よって

I_{n} = \frac{1}{2} - \frac{3}{n ^{2} π ^{2}}

となり、求める極限は

n \to \infty lim I_{n} = \frac{1}{2}

である。

九州大学 2019年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

九州大学 2019年度
理系数学前期第1問