九州大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

条件(ア)より、$z=i$ のとき $$\frac{ai+b}{ci+1}=i$$ である。したがって $ai+b=i(ci+1)=-c+i$ である。また $z=-i$ のとき $$\frac{-ai+b}{-ci+1}=-i$$ であるから $-ai+b=-i(-ci+1)=-c-i$ である。2つの式を足すと $2b=-2c$ より $b=-c$ である。2つの式を引くと $2ai=2i$ より $a=1$ である。したがって $$w=\frac{z-c}{cz+1}$$ となる。

次に条件(イ)を用いる。虚軸上の点を $z=iy$ とおく。ただし $y$ は実数である。このとき $$w=\frac{iy-c}{icy+1}$$ である。$C$ が単位円周に含まれるためには、すべての実数 $y$ について $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ となればよい。すなわち $\mathrm{\mid }iy-c\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }1+icy\mathrm{\mid }$ である。

ここで $c=u+vi$ とおく。左辺の2乗は $\mathrm{\mid }iy-c{\mathrm{\mid }}^2=u^2+(y-v{)}^2$ である。右辺の2乗は $$\mathrm{\mid }1+icy{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }1+iy(u+vi){\mathrm{\mid }}^2=(1-vy{)}^2+u^2{y}^2$$ である。両者がすべての実数 $y$ で等しいので、係数を比較して $u^2+v^2=1$ を得る。したがって $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=1$ である。 $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=1$ のとき、上の計算により虚軸上のすべての点の像は単位円周上にある。さらに $y\to \pm \mathrm{\infty }$ とすると $$w=\frac{iy-c}{icy+1}⟶\frac{1}{c}$$ である。一方、$c$ は純虚数でないので $c\mathrm{\ne }\pm i$ であり、実数 $y$ に対して実際に $w=\frac{1}{c}$ となることはない。したがって軌跡 $C$ は、単位円周から点 $\frac{1}{c}$ を除いた部分である。

条件(ウ)より、点 $-1$ は $C$ に属さない。単位円周上で $C$ から除かれる点は $\frac{1}{c}$ だけなので $\frac{1}{c}=-1$ でなければならない。よって $c=-1$ である。したがって $$a=1,b=1,c=-1$$ である。

このとき $$w=\frac{z+1}{1-z}$$ である。$z=iy$ とおくと $$w=\frac{1+iy}{1-iy}$$ であり、$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ を満たす。さらに $y\to \pm \mathrm{\infty }$ で $w\to -1$ となるが、有限の実数 $y$ では $w=-1$ にならない。したがって、$C$ は単位円周から点 $-1$ を除いた部分である。図示するときは、原点中心・半径1の円を描き、点 $-1$ だけを白丸で除けばよい。点 $i$ と $-i$ は条件(ア)により含まれる。

別解。$$w=\frac{z-c}{cz+1}$$ を $z$ について解くと $$z=\frac{w+c}{1-cw}$$ である。$z$ が虚軸上にあることは $\bar{z}=-z$ と同値である。$\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=1$ を用いてこの条件を整理すると $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ が出る。ただし分母が0になる点、すなわち $w=\frac{1}{c}$ だけは対応する有限の $z$ をもたない。この見方でも、軌跡が単位円周から $\frac{1}{c}$ を除いた部分であることが分かる。

条件(ア)で分数変換を1変数 $c$ に絞り、逆変換で虚軸と単位円の対応を調べる。単位円上で有限の $z$ に対応しない1点を特定し、条件(ウ)から $c$ を決める。

条件(ア)を $z=i,-i$ に代入すると$$ai+b=-c+i,-ai+b=-c-i$$だから$$a=1,b=-c$$である。よって$$w=\frac{z-c}{cz+1}$$となる。$z=iy$、$c=u+vi$ とおき、条件(イ)の $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ を使うと$$\mathrm{\mid }iy-c{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }1+icy{\mathrm{\mid }}^2$$がすべての実数 $y$ で成り立つ。$y^2$ の係数を比べれば$$u^2+v^2=1$$すなわち $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=1$ を得る。

変換を $z$ について解くと$$z=\frac{w+c}{1-cw}$$である。$\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=1$ のとき、虚軸に無限遠点を加えた集合は単位円周へ1対1に写る。ただし有限の $z$ に対応しない点は$$1-cw=0,w=\frac{1}{c}$$だけである。$c$ は純虚数でないため変換は定数にはならない。したがって $C$ は単位円周から $1\mathrm{/}c$ を除いた軌跡である。

条件(ウ)より、その除外点が $-1$ でなければならない。よって$$\frac{1}{c}=-1,c=-1$$であり、$a=1$、$b=1$ となる。このとき$$w=\frac{z+1}{1-z}$$で、軌跡は単位円周から点 $-1$ を除いた部分である。