九州大学 2019年度
理系数学 前期 第5問

解答

解法1

条件(ア)より、$z=i$ のとき $\frac{ai+b}{ci+1}=i$ である。したがって $ai+b=i(ci+1)=-c+i$ である。また $z=-i$ のとき $\frac{-ai+b}{-ci+1}=-i$ であるから $-ai+b=-i(-ci+1)=-c-i$ である。2つの式を足すと $2b=-2c$ より $b=-c$ である。2つの式を引くと $2ai=2i$ より $a=1$ である。したがって $w=\frac{z-c}{cz+1}$ となる。

次に条件(イ)を用いる。虚軸上の点を $z=iy$ とおく。ただし $y$ は実数である。このとき $w=\frac{iy-c}{icy+1}$ である。$C$ が単位円周に含まれるためには、すべての実数 $y$ について $|w|=1$ となればよい。すなわち $|iy-c|=|1+icy|$ である。

ここで $c=u+vi$ とおく。左辺の2乗は $|iy-c{|}^2=u^2+(y-v{)}^2$ である。右辺の2乗は $|1+icy{|}^2=|1+iy(u+vi){|}^2=(1-vy{)}^2+u^2{y}^2$ である。両者がすべての実数 $y$ で等しいので、係数を比較して $u^2+v^2=1$ を得る。したがって $|c|=1$ である。 $|c|=1$ のとき、上の計算により虚軸上のすべての点の像は単位円周上にある。さらに $y\to \pm \infty$ とすると $w=\frac{iy-c}{icy+1}⟶\frac{1}{c}$ である。一方、$c$ は純虚数でないので $c\ne \pm i$ であり、実数 $y$ に対して実際に $w=\frac{1}{c}$ となることはない。したがって軌跡 $C$ は、単位円周から点 $\frac{1}{c}$ を除いた部分である。

条件(ウ)より、点 $-1$ は $C$ に属さない。単位円周上で $C$ から除かれる点は $\frac{1}{c}$ だけなので $\frac{1}{c}=-1$ でなければならない。よって $c=-1$ である。したがって $a=1,b=1,c=-1$ である。

このとき $w=\frac{z+1}{1-z}$ である。$z=iy$ とおくと $w=\frac{1+iy}{1-iy}$ であり、$|w|=1$ を満たす。さらに $y\to \pm \infty$ で $w\to -1$ となるが、有限の実数 $y$ では $w=-1$ にならない。したがって、$C$ は単位円周から点 $-1$ を除いた部分である。図示するときは、原点中心・半径1の円を描き、点 $-1$ だけを白丸で除けばよい。点 $i$ と $-i$ は条件(ア)により含まれる。

別解。$w=\frac{z-c}{cz+1}$ を $z$ について解くと $z=\frac{w+c}{1-cw}$ である。$z$ が虚軸上にあることは $\overline{z}=-z$ と同値である。$|c|=1$ を用いてこの条件を整理すると $|w|=1$ が出る。ただし分母が0になる点、すなわち $w=\frac{1}{c}$ だけは対応する有限の $z$ をもたない。この見方でも、軌跡が単位円周から $\frac{1}{c}$ を除いた部分であることが分かる。

解法2

条件(ア)を $z=i,-i$ に代入すると

だから

である。よって

となる。$z=iy$、$c=u+vi$ とおき、条件(イ)の $|w|=1$ を使うと

がすべての実数 $y$ で成り立つ。$y^2$ の係数を比べれば

すなわち $|c|=1$ を得る。

変換を $z$ について解くと

である。$|c|=1$ のとき、虚軸に無限遠点を加えた集合は単位円周へ1対1に写る。ただし有限の $z$ に対応しない点は

だけである。$c$ は純虚数でないため変換は定数にはならない。したがって $C$ は単位円周から $1/c$ を除いた軌跡である。

条件(ウ)より、その除外点が $-1$ でなければならない。よって

であり、$a=1$、$b=1$ となる。このとき

で、軌跡は単位円周から点 $-1$ を除いた部分である。