問題
1個のサイコロを3回投げて出た目を順にとする。2次方程式
の2つの解，を表す複素数平面上の点をそれぞれ，とする。また，複素数平面上の原点をとする。以下の問いに答えよ。
(1) とが一致する確率を求めよ。
(2) とがともに単位円の周上にある確率を求めよ。
(3) とを通る直線をとし，とを通る直線をとする。とのなす鋭角がである確率を求めよ。
方針
解法1
全事象は の 通りである。(1)は重解条件 を数える。(2)は2解がともに単位円上にあることを、解と係数の関係から 、さらに へ変換する。(3)は判別式が負のとき2解が共役複素数になり、原点から見た2直線のなす角が根の実部と虚部の比で決まる。角が になる条件を または に直し、該当するサイコロの目を数える。
解法2
各条件を積 の値へ直し、サイコロの目の範囲で因数対を表にして数える。角度条件では共役2点と実軸のなす角を または に分ける。
解答
解法1
全事象は 通りである。
(1)
と が一致するのは、2次方程式が重解をもつときである。したがって条件は すなわち である。 でこれを満たす組は の5通りである。よって確率は である。
(2)
2解を とすると、解と係数の関係より である。もし がともに単位円上にあれば である。 は正なので、これは を意味する。
逆に とすると、方程式は と書ける。この2解が単位円上にあるための条件は、ある実数 によって と書けることであり、そのとき である。ここで だから、必要十分条件は である。 より である。
したがって かつ を数えればよい。 に対して、可能な の個数は である。合計は 通りである。よって確率は である。
(3)
判別式が0以上で2解が実数のとき、 は実軸上にあり、2直線のなす鋭角は にならない。したがって判別式が負の場合を考える。
このとき2解は共役複素数であり、
と書ける。実部の絶対値は 、虚部の絶対値は である。
2つの直線は実軸に関して対称である。虚部と実部の絶対値の比を とおく。2直線のなす鋭角が になるのは、実軸との角が または になるときである。したがって または である。
前者は すなわち である。後者は すなわち である。 を満たす組は の8通りである。また を満たす組は の6通りである。これらは重ならないので、合計14通りである。よって確率は である。
解法2
全事象は 通りである。
(1)
重解条件は である。 は偶数で、 のとき となる。範囲 の順序つき因数対の個数はそれぞれ 個なので、合計5通りである。よって確率は
である。
(2)
2根がともに単位円上なら
より である。このとき2根が単位円上にある必要十分条件は
すなわち である。各 に対する の個数は
だから、合計30通りである。よって確率は
である。
(3)
判別式が負のとき、2根は実軸について対称である。
実部と虚部の絶対値の比を
とする。2直線の鋭角が になるのは または のときであり、条件はそれぞれ
となる。因数対を数えると
である。合計14通りだから、確率は
である。