九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$\omega =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$ とおくと ${\omega }^2-\omega +1=0$ である。$f(x)$ は整数係数、特に実係数なので、$\omega$ の共役複素数も解である。したがって $x^2-x+1$ が $f(x)$ の因数である。 $f(x)$ は最高係数1の四次式なので $$f(x)=(x^2-x+1)(x^2+mx+n)$$ と書ける。展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^4+(m-1)x^3+(n-m+1)x^2+(m-n)x+n}\end{array}$$である。係数比較より $$a=m-1,b=n-m+1,c=m-n,d=n$$ である。$m=a+1$、$n=a+b$ だから $${\displaystyle c=1-b,d=a+b}$$ である。

(2)
(1)より $f(1)=1+a+b+c+d=2+2a+b$ であり、$f(-1)=1-a+b-c+d=3b$ である。まず $f(-1)$ の条件から $3b\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),3b\equiv 10(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ である。したがって $b\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),b\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ である。 $b=7u+1$ とおくと、$7u+1\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ より $7u\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ である。$7^{-1}\equiv 8(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ だから $u\equiv 48\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ となり、$$b=29+77v(v\in \mathbb{Z})$$ である。$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\leqq 40$ より $b=29$ が決まる。

次に $f(1)$ の条件を用いる。$b=29$ より $f(1)=31+2a$ である。条件は $31+2a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),31+2a\equiv 10(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ であるから $2a\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),2a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ となる。よって $a\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),a\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ すなわち $$a=6+77w(w\in \mathbb{Z})$$ である。$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq 40$ より $a=6$ である。

したがって $$c=1-b=-28,d=a+b=35$$ であり、$$f(x)=(x^2-x+1)(x^2+7x+35)$$ となる。よって方程式 $f(x)=0$ の解は$${\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\frac{1-\sqrt{3}i}{2},\frac{-7+\sqrt{91}i}{2},\frac{-7-\sqrt{91}i}{2}}$$である。

${\omega }^2=\omega -1$ から ${\omega }^3=-1,{\omega }^4=-\omega$ を得て、$f(\omega )$ を $A\omega +B$ に簡約する。2係数を0として $c,d$ を求め、合同条件は絶対値40以下の候補を明示して一意に絞る。

(1)
$\omega =(1+\sqrt{3}i)\mathrm{/}2$ とおく。関係式$${\omega }^2=\omega -1,{\omega }^3=-1,{\omega }^4=-\omega$$を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(\omega )}& {\displaystyle =-\omega -a+b(\omega -1)+c\omega +d}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(b+c-1)\omega +(d-a-b)\mathrm{.}}\end{array}$$$\omega$ は非実数で、2つの係数は実数だから$$b+c-1=0,d-a-b=0.$$よって$$c=1-b,d=a+b$$である。

(2)
このとき$$f(-1)=3b\mathrm{.}$$剰余条件から$$b\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),b\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\leqq 40$ で前者を満たす候補$$-34,-27,-20,-13,-6,1,8,15,22,29,36$$のうち、後者も満たすのは $b=29$ だけである。

また$$f(1)=2+2a+b=31+2a$$だから$$2a\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),2a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11),$$すなわち$$a\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7),a\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq 40$ より $a=6$ である。したがって$$c=-28,d=35,$$かつ$$f(x)=(x^2-x+1)(x^2+7x+35)\mathrm{.}$$よってすべての解は$$x=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2},x=\frac{-7\pm \sqrt{91}i}{2}$$である。