問題
を整数とし，を虚数単位とする。整式がをみたすとき，以下の問いに答えよ。
(1) をを用いて表せ。
(2) を7で割ると1余り，11で割ると10余るとする。また，を7で割ると3余り，11で割ると10余るとする。の絶対値との絶対値がともに40以下であるとき，方程式の解をすべて求めよ。
出典：九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
解法1（共役解で二次因子を取り出す）
の共役も解なので、 が を割る。残る二次式との係数比較で を表し、 から 、次に から を合同式と範囲条件で決める。
解法2（ωに代入して剰余を消去する）
から を得て、 を に簡約する。2係数を0として を求め、合同条件は絶対値40以下の候補を明示して一意に絞る。
解答
解法1（共役解で二次因子を取り出す）
(1)
とおくと である。 は整数係数、特に実係数なので、 の共役複素数も解である。したがって が の因数である。 は最高係数1の四次式なので と書ける。展開すると
である。係数比較より である。、 だから である。
(2)
(1)より であり、 である。まず の条件から である。したがって である。 とおくと、 より である。 だから となり、 である。 より が決まる。
次に の条件を用いる。 より である。条件は であるから となる。よって すなわち である。 より である。
したがって であり、 となる。よって方程式 の解は
である。
解法2（ωに代入して剰余を消去する）
(1)
とおく。関係式
を用いると
は非実数で、2つの係数は実数だから
よって
である。
(2)
このとき
剰余条件から
で前者を満たす候補
のうち、後者も満たすのは だけである。
また
だから
すなわち
より である。したがって
かつ
よってすべての解は
である。