九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
直線 $AB$ は、点 $A(1,0)$, $B(0,2)$ を通るので $2x+y=2$ である。

三角形 $OAB$ の内接円は $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接するから、その中心は2つの座標軸から等距離にある。よって中心を $(r,r)(r>0)$ とおくと、半径も $r$ である。内接円はさらに直線 $AB$ に接するので、点 $(r,r)$ と直線 $2x+y-2=0$ の距離が $r$ に等しい。

内接円の中心は三角形の内部にあるから $2-3r>0$ であり、$${\displaystyle \frac{2-3r}{\sqrt{5}}=r}$$ となる。したがって $2=(3+\sqrt{5})r$ より $${\displaystyle r=\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$ である。求める中心の座標は ${\displaystyle (\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})}$ である。

(2)
条件をみたす円は、中心が第1象限にあり、$x$ 軸と $y$ 軸の両方に接する。よって中心を $(r,r)(r>0)$ とおくと、半径も $r$ である。

中心 $(r,r)$ から直線 $AB:2x+y-2=0$ までの距離を $d$ とすると $${\displaystyle d=\frac{\mathrm{\mid }2r+r-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}=\frac{\mathrm{\mid }3r-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}}$$ である。直線 $AB$ と円が異なる2点で交わる条件は $d<r$ であり、このとき弦 $PQ$ の長さは $$PQ=2\sqrt{r^2-d^2}$$ である。したがって $${\displaystyle P{Q}^2=4(r^2-\frac{(3r-2{)}^2}{5})=\frac{16}{5}(-r^2+3r-1)}$$ である。

ここで $${\displaystyle -r^2+3r-1=-{(r-\frac{3}{2})}^2+\frac{5}{4}}$$ であるから、$P{Q}^2$ は $${\displaystyle r=\frac{3}{2}}$$ のとき最大となる。このとき $${\displaystyle P{Q}^2=\frac{16}{5}\cdot \frac{5}{4}=4}$$ である。また $${\displaystyle r=\frac{3}{2}}$$ では $${\displaystyle d=\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}<\frac{3}{2}=r}$$ なので、確かに異なる2交点をもつ。よって求める最大値は $PQ=2$ である。

(1) は直角三角形の内接円半径の公式を用いる。(2)では直線 $AB$ を $y=2-2x$ と置き，円の方程式へ代入する。2交点の $x$ 座標の差を判別式で表し，直線の傾きから実際の弦長へ直して最大化する。

(1)
三角形 $OAB$ は2辺の長さが $1,2$，斜辺が $\sqrt{5}$ の直角三角形である。直角三角形の内接円半径は$$r=\frac{1+2-\sqrt{5}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$である。円は両座標軸に接するため，中心は$$(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2})$$となる。

(2)
円の中心を $C(r,r)$，半径を $r$ とする。直線 $AB$ 上では $y=2-2x$ だから，円$$(x-r{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$$へ代入すると$$5x^2+(2r-8)x+(2-r{)}^2=0$$を得る。その2根を $x_1,x_2$ とする。判別式は$$\mathrm{\Delta }=(2r-8{)}^2-20(2-r{)}^2=16(-r^2+3r-1)$$である。2交点が異なる条件は $\mathrm{\Delta }>0$ であり，$$(x_1-x_2{)}^2=\frac{\mathrm{\Delta }}{25}$$となる。直線の傾きは $-2$ なので，弦長は$$PQ=\sqrt{1+(-2{)}^2}\mathrm{\mid }{x}_1-x_2\mathrm{\mid }$$である。したがって$$P{Q}^2=5\frac{\mathrm{\Delta }}{25}=\frac{16}{5}(-r^2+3r-1)=\frac{16}{5}\{-{(r-\frac{3}{2})}^2+\frac{5}{4}\}\mathrm{.}$$よって $r=3\mathrm{/}2$ のとき $P{Q}^2=4$ となる。このとき $\mathrm{\Delta }>0$ も満たすから，求める最大値は$$PQ=2$$である。