九州大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
式(A)は $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=c_1$ である。第1象限では $x\geqq 0,y\geqq 0$ なので $x+y=c_1$ の線分である。同様に各象限で絶対値を外すと、頂点 $(c_1,0),(0,c_1),(-c_1,0),(0,-c_1)$ をもつひし形になる。つまり、これら4点を順に結んだ図形が式(A)を満たす点全体である。

(2)
極座標で $$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$ とおく。ただし $r\geqq 0$ である。式(A)は $$r\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }+r\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }=c_1$$ すなわち $${\displaystyle r=\frac{c_1}{\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }}}$$ である。

式(B)は $$\sqrt{x^2+y^2}=r$$ であるから $${\displaystyle r=c_2}$$ である。

(3)
原点を除く点では $$r=\sqrt{x^2+y^2}>0$$ であり、$$\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{\sqrt{x^2+y^2}}=\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }$$ である。ここで $$X=\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid },Y=\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }$$ とおくと、$X\geqq 0$、$Y\geqq 0$、$X^2+Y^2=1$ である。

最小値については $$X+Y\geqq \sqrt{X^2+Y^2}=1$$ であり、等号は $(X,Y)=(1,0)$ または $(0,1)$ のときに成り立つ。したがって最小値は1である。

最大値については $$(X+Y{)}^2=X^2+Y^2+2XY=1+2XY\leqq 1+X^2+Y^2=2$$ である。等号は $X=Y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときに成り立つ。したがって最大値は $\sqrt{2}$ である。

以上より、最大値は ${\displaystyle \sqrt{2}}$ であり、最小値は ${\displaystyle 1}$ である。

式(A)のひし形を図示したうえで、(3)は極座標に頼らず $(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }{)}^2$ の展開とコーシー・シュワルツの不等式で直接はさむ。等号条件を座標軸方向と45度方向に対応させる。

(1)
各象限で絶対値を外すと、式(A)は4本の線分$$x+y=c_1,-x+y=c_1,-x-y=c_1,x-y=c_1$$からなる。したがって頂点$$(c_1,0),(0,c_1),(-c_1,0),(0,-c_1)$$をもつひし形である。

(2) $$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,r\geqq 0$$とおくと、式(A)は$$r(\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid })=c_1$$だから$$r=\frac{c_1}{\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }}\mathrm{.}$$式(B)はそのまま$$r=c_2$$である。

(3)
原点以外では $$\sqrt{x^2+y^2}>0$$ である。まず$$(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }{)}^2=x^2+y^2+2\mathrm{\mid }xy\mathrm{\mid }\geqq x^2+y^2$$より$$\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{\sqrt{x^2+y^2}}\geqq 1.$$等号は $xy=0$、すなわち座標軸上で成り立つ。

一方、コーシー・シュワルツの不等式から$$(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }{)}^2\leqq (1^2+1^2)(x^2+y^2)=2(x^2+y^2)$$だから$$\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}{\sqrt{x^2+y^2}}\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$等号は $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ のときに成り立つ。したがって$$\text{最大値 }\sqrt{2},\text{最小値 }1$$である。