九州大学 2021年度
文系数学 前期 第4問

解答

解法1（漸化式を差し引いて2階漸化式にする）

(1)

$S_n={\sum }_{k=1}^{n}k{2}^{k-1}=1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots +n{2}^{n-1}$ とおく。両辺を2倍すると $2S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n{2}^n$ である。したがって同じ指数の項をそろえて $2S_n-S_n$ を取ると $S_n=-1+(1-2)2+(2-3)2^2+\cdots +\{(n-1)-n\}{2}^{n-1}+n{2}^n$ である。したがって $S_n=-1-(2+2^2+\cdots +2^{n-1})+n{2}^n$ となる。よって $S_n=n{2}^n-(2^n-2)-1=(n-1)2^n+1$ である。

(2)

与えられた式を $a_{n+1}=1+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(n+1-k)a_k$ と書く。これを $n+1$ に対する式と比べると $a_{n+2}=1+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n+1}(n+2-k)a_k$ であるから、差を取って $a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k$ を得る。

さらに、$n\geqq 2$ で1つ前の式 $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{a}_k$ を引くと $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=\frac{1}{2}{a}_{n+1}$ である。すなわち $2a_{n+2}-5a_{n+1}+2a_n=0(n\geqq 2)$ となる。

初期値を求めると $a_1=2,$ また $n=1$ を代入して $a_2=1+\frac{1}{2}{a}_1=2$ であり、$n=2$ を代入して $a_3=1+\frac{1}{2}(2a_1+a_2)=4$ である。 $n\geqq 2$ で成り立つ漸化式の特性方程式は $2r^2-5r+2=0$ すなわち $(2r-1)(r-2)=0$ である。したがって $a_n=A\cdot 2^n+B{\left(\frac{1}{2}\right)}^n(n\geqq 2)$ の形になる。$a_2=2,a_3=4$ を代入すると $B=0$, $A=\frac{1}{2}$ となるので $a_n=2^{n-1}(n\geqq 2)$ である。

なお $a_1=2$ であり、これは $2^{1-1}=1$ とは異なる。よって一般項は $a_1=2,a_n=2^{n-1}(n\geqq 2)$ である。

解法2（和の公式と数学的帰納法で一般項を確定する）

(1)

有限等比和を微分すると

である。$x=2$ を代入して

を得る。

(2)

漸化式から

となるので，

と予想する。

$n\ge 2$ とし，$2\le k\le n$ で $a_k=2^{k-1}$ が成り立つと仮定する。このとき

ここで

は(1)から従う。したがって

数学的帰納法により

である。