九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$S_n=\sum _{k=1}^{n}k{2}^{k-1}=1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots +n{2}^{n-1}$$ とおく。両辺を2倍すると $$2S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n{2}^n$$ である。したがって
同じ指数の項をそろえて $2S_n-S_n$ を取ると $$S_n=-1+(1-2)2+(2-3)2^2+\cdots +\{(n-1)-n\}{2}^{n-1}+n{2}^n$$ である。したがって $$S_n=-1-(2+2^2+\cdots +2^{n-1})+n{2}^n$$ となる。よって $$S_n=n{2}^n-(2^n-2)-1=(n-1)2^n+1$$ である。

(2)
与えられた式を $${\displaystyle a_{n+1}=1+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(n+1-k)a_k}$$ と書く。これを $n+1$ に対する式と比べると $${\displaystyle a_{n+2}=1+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n+1}(n+2-k)a_k}$$ であるから、差を取って $${\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n+1}{a}_k}$$ を得る。

さらに、$n\geqq 2$ で1つ前の式 $${\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n{a}_k}$$ を引くと $${\displaystyle a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=\frac{1}{2}{a}_{n+1}}$$ である。すなわち $$2a_{n+2}-5a_{n+1}+2a_n=0(n\geqq 2)$$ となる。

初期値を求めると $a_1=2,$ また $n=1$ を代入して $${\displaystyle a_2=1+\frac{1}{2}{a}_1=2}$$ であり、$n=2$ を代入して $${\displaystyle a_3=1+\frac{1}{2}(2a_1+a_2)=4}$$ である。 $n\geqq 2$ で成り立つ漸化式の特性方程式は $2r^2-5r+2=0$ すなわち $(2r-1)(r-2)=0$ である。したがって $${\displaystyle a_n=A\cdot 2^n+B{\left(\frac{1}{2}\right)}^n(n\geqq 2)}$$ の形になる。$a_2=2,a_3=4$ を代入すると $B=0$, $${\displaystyle A=\frac{1}{2}}$$ となるので $$a_n=2^{n-1}(n\geqq 2)$$ である。

なお $a_1=2$ であり、これは $2^{1-1}=1$ とは異なる。よって一般項は $$a_1=2,a_n=2^{n-1}(n\geqq 2)$$ である。

(1) は等比数列の和を微分して得られる有限和公式へ $x=2$ を代入する。(2)は初項を計算して $a_1=2,a_n=2^{n-1}(n\ge 2)$ を予想し，(1)の和の公式を使って漸化式の右辺を直接評価して帰納する。

(1)
有限等比和を微分すると$$\sum _{k=1}^{n}k{x}^{k-1}=\frac{1-(n+1)x^n+n{x}^{n+1}}{(1-x{)}^2}$$である。$x=2$ を代入して$$\sum _{k=1}^{n}k{2}^{k-1}=(n-1)2^n+1$$を得る。

(2)
漸化式から$$a_1=2,a_2=1+\frac{1}{2}{a}_1=2,a_3=1+\frac{1}{2}(2a_1+a_2)=4$$となるので，$$a_1=2,a_n=2^{n-1}(n\ge 2)$$と予想する。

$n\ge 2$ とし，$2\le k\le n$ で $a_k=2^{k-1}$ が成り立つと仮定する。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n(n+1-k)a_k}& {\displaystyle =2n+\sum _{j=1}^{n-1}(n-j)2^j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2n+n(2^n-2)-\{(n-2)2^n+2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{n+1}-2.}\end{array}$$ここで$$\sum _{j=1}^{n-1}j{2}^j=(n-2)2^n+2$$は(1)から従う。したがって$$a_{n+1}=1+\frac{1}{2}(2^{n+1}-2)=2^n\mathrm{.}$$数学的帰納法により$$a_1=2,a_n=2^{n-1}(n\ge 2)$$である。