九州大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$g(x)=x^2+(3-a)x-3a=(x-a)(x+3)$$ とおく。曲線 $C$ は，$g(x)\geqq 0$ の部分では $y=g(x)$，$g(x)\leqq 0$ の部分では $y=-g(x)$ である。直線 $l:y=-x+13$ が $C$ に接するには，どちらかの枝との交点が重解になればよい。

まず $y=g(x)$ と $l$ の共有点は $x^2+(3-a)x-3a=-x+13$ すなわち $x^2+(4-a)x-3a-13=0$ の解である。この判別式は $$(4-a{)}^2+4(3a+13)=a^2+4a+68=(a+2{)}^2+64>0$$ であるから，この枝では接しない。

次に $y=-g(x)$ と $l$ の共有点は $-x^2-(3-a)x+3a=-x+13$ すなわち $x^2-(a-2)x-3a+13=0$ の解である。この判別式は $$(a-2{)}^2+4(3a-13)=a^2+8a-48=(a-4)(a+12)$$ である。接するためには判別式が $0$ であり，$-3<a<13$ も満たすので $a=4$ である。

(2) $a=4$ のとき $$g(x)=x^2-x-12=(x-4)(x+3)$$ である。接点は $x^2-2x+1=0$ より $x=1$ である。また，枝 $y=g(x)$ と直線の交点は $x^2-x-12=-x+13$ より $x^2-25=0,x=-5,5$ である。したがって直線と曲線で囲まれる2つの図形は，接点 $x=1$ を境に左側と右側に分かれる。点 $(a,0)=(4,0)$ は右側の図形の境界上にあるので，求める面積は $1\leqq x\leqq 5$ の側である。 $1\leqq x\leqq 4$ では $g(x)\leqq 0$ だから $C:y=-g(x)$，$4\leqq x\leqq 5$ では $C:y=g(x)$ である。よって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_1^4\{(-x+13)-(-g(x))\}dx+{\int }_4^5\{(-x+13)-g(x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_1^4(x^2-2x+1)dx+{\int }_4^5(25-x^2)dx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$${\int }_1^4(x^2-2x+1)dx={\int }_1^4(x-1{)}^{2}dx=9$$であり，$${\int }_4^5(25-x^2)dx={[25x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_4^5={\displaystyle \frac{14}{3}}$$である。したがって $$S=9+{\displaystyle \frac{14}{3}}={\displaystyle \frac{41}{3}}$$ である。

絶対値の内側を $g(x)=(x-a)(x+3)$ とする。上側の枝 $y=g(x)$ は直線と接しないことを交点の判別式で除外する。下側の枝 $y=-g(x)$ については，接点の $x$ 座標を $p$ とおき，導関数が直線の傾き $-1$ に等しい条件と，接点が直線上にある条件を連立する。面積は接点 $x=1$，折れ点 $x=4$，交点 $x=5$ で区切る。

(1) $$g(x)=x^2+(3-a)x-3a=(x-a)(x+3)$$とおく。枝 $y=g(x)$ と直線 $l$ の交点は$$x^2+(4-a)x-3a-13=0$$で決まり，その判別式は$$(4-a{)}^2+4(3a+13)=(a+2{)}^2+64>0$$である。したがって，この枝が $l$ と接することはない。

そこで枝 $y=-g(x)$ の接点の $x$ 座標を $p$ とする。この枝の導関数は$$-g^{\mathrm{\prime }}(x)=a-3-2x$$であり，接線の傾きが $-1$ だから$$\begin{array}{cccc}& a-3-2p=-1,p={\displaystyle \frac{a-2}{2}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$また接点は直線 $l$ 上にもあるので$$\begin{array}{cccc}& -p^2-(3-a)p+3a=-p+13.& & \text{(2)}\end{array}$$(1) を (2) に代入して整理すると$$(a-4)(a+12)=0.$$条件 $-3<a<13$ より$$a=4\mathrm{.}$$(2)
$a=4$ のとき$$g(x)=x^2-x-12=(x-4)(x+3)\mathrm{.}$$下側の枝との接点は $x=1$，上側の枝との交点は$$x^2-x-12=-x+13⟺x=\pm 5$$である。点 $(4,0)$ を境界にもつのは右側の領域なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_1^4\{(-x+13)-(-g(x))\}dx+{\int }_4^5\{(-x+13)-g(x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_1^4(x-1{)}^{2}dx+{\int }_4^5(25-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{(x-1{)}^3}{3}}\right]}_1^4+{[25x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_4^5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9+{\displaystyle \frac{14}{3}}={\displaystyle \frac{41}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める面積は$${\displaystyle \frac{41}{3}}$$である。