問題
ををみたす実数とし，次の曲線と直線が接しているとする。
以下の問いに答えよ。
(1) の値を求めよ。
(2) 曲線と直線で囲まれた2つの図形のうち，点が境界線上にある図形の面積を求めよ。
方針
解法1
絶対値の中身を とおくと， であり，点 は常に曲線 上にある。接線条件は，絶対値を外した2つの枝 ， と直線 の共有点が重解になる条件として判別式で調べる。 が決まった後は，直線と曲線の交点をすべて出し，2つの閉領域のうち を境界にもつ側を選ぶ。面積は で絶対値の枝が切り替わるため，区間を分けて「上のグラフ－下のグラフ」を積分する。
解法2（接点の傾きから決定）
絶対値の内側を とする。上側の枝 は直線と接しないことを交点の判別式で除外する。下側の枝 については，接点の 座標を とおき，導関数が直線の傾き に等しい条件と，接点が直線上にある条件を連立する。面積は接点 ，折れ点 ，交点 で区切る。
解答
解法1
(1)
とおく。曲線 は， の部分では ， の部分では である。直線 が に接するには，どちらかの枝との交点が重解になればよい。
まず と の共有点は すなわち の解である。この判別式は であるから，この枝では接しない。
次に と の共有点は すなわち の解である。この判別式は である。接するためには判別式が であり， も満たすので である。
(2)
のとき である。接点は より である。また，枝 と直線の交点は より である。したがって直線と曲線で囲まれる2つの図形は，接点 を境に左側と右側に分かれる。点 は右側の図形の境界上にあるので，求める面積は の側である。 では だから ， では である。よって面積 は
ここで
であり，
である。したがって である。
解法2（接点の傾きから決定）
(1)
とおく。枝 と直線 の交点は
で決まり，その判別式は
である。したがって，この枝が と接することはない。
そこで枝 の接点の 座標を とする。この枝の導関数は
であり，接線の傾きが だから
また接点は直線 上にもあるので
(1) を (2) に代入して整理すると
条件 より
(2)
のとき
下側の枝との接点は ，上側の枝との交点は
である。点 を境界にもつのは右側の領域なので
したがって求める面積は
である。
