九州大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{a}=(1,1,0),\overrightarrow{b}=(2,1,2)$$ である。$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ の両方に垂直なベクトルを $(u,v,w)$ とおくと，内積が $0$ であることから $u+v=0,2u+v+2w=0$ を満たす。第1式より $v=-u$ であり，これを第2式に代入すると $$u+2w=0,w=-{\displaystyle \frac{u}{2}}$$ である。したがって法線方向のベクトルは $$(u,v,w)=u(1,-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。$x$ 成分が正で，大きさが $1$ になるようにすると $$\sqrt{1^2+(-1{)}^2+{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ より $$\overrightarrow{n}=({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ である。

(2)

平面 $\alpha$ は原点を通り，法線ベクトルとして $(2,-2,-1)$ をもつ。よって平面 $\alpha$ の方程式は $2x-2y-z=0$ である。点 $P(4,0,-1)$ を代入すると $2\cdot 4-2\cdot 0-(-1)=9$ であり，法線ベクトル $(2,-2,-1)$ の大きさは $$\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}=3$$ である。したがって点 $P$ と平面 $\alpha$ の距離は $$PQ={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$$ である。

(3)

(1) の $\overrightarrow{n}$ は平面 $\alpha$ の正の向きの単位法線ベクトルであり，(2) より点 $P$ は平面から $3\overrightarrow{n}$ だけ離れている。したがって垂線の足 $Q$ は$$Q=P-3\overrightarrow{n}=(4,0,-1)-3({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})=(2,2,0)$$である。平面に関する対称点 $P^{\mathrm{\prime }}$ は，$Q$ を中点として $P$ の反対側にあるから $$P^{\mathrm{\prime }}=2Q-P=(4,4,0)-(4,0,-1)=(0,4,1)$$ である。

垂線の足 $Q$ は平面上にあるので $Q=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$ と表せる。さらに $\overrightarrow{PQ}$ が平面上の2方向 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ の両方に垂直である条件を使えば，法線方程式を作らずに $s,t$ を決定できる。距離は $\mathrm{\mid }P-Q\mathrm{\mid }$，対称点は $P^{\mathrm{\prime }}=2Q-P$ で求める。

(1) $$\overrightarrow{a}=(1,1,0),\overrightarrow{b}=(2,1,2)\mathrm{.}$$両方に垂直なベクトルを $(u,v,w)$ とおくと$$u+v=0,2u+v+2w=0.$$よって $(u,v,w)$ は $(2,-2,-1)$ に平行である。その大きさは3なので，$x$ 成分が正の単位ベクトルは$$\overrightarrow{n}=({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})\mathrm{.}$$(2)
垂線の足を $$Q=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$ とおく。すると$$Q=(s+2t,s+t,2t)\mathrm{.}$$$\overrightarrow{PQ}=Q-P$ は $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ の両方に垂直だから$$\{\begin{array}{l}(Q-P)\cdot \overrightarrow{a}=0,\\ (Q-P)\cdot \overrightarrow{b}=0.\end{array}$$内積$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=2,\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3,\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=9,$$$$P\cdot \overrightarrow{a}=4,P\cdot \overrightarrow{b}=6$$を用いると$$\{\begin{array}{l}2s+3t=4,\\ 3s+9t=6.\end{array}$$これを解いて $s=2,t=0$ だから$$Q=2\overrightarrow{a}=(2,2,0)\mathrm{.}$$したがって$$PQ=\mathrm{\mid }(4,0,-1)-(2,2,0)\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}=3.$$(3)
$Q$ は $P{P}^{\mathrm{\prime }}$ の中点なので$$P^{\mathrm{\prime }}=2Q-P=2(2,2,0)-(4,0,-1)=(0,4,1)\mathrm{.}$$