九州大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{a}=(1,1,0),\overrightarrow{b}=(2,1,2)$$ である。$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ の両方に垂直なベクトルを $(u,v,w)$ とおくと $u+v=0,2u+v+2w=0$ である。第1式から $v=-u$，これを第2式に代入して $$u+2w=0,w=-{\displaystyle \frac{u}{2}}$$ を得る。したがって法線方向は $(1,-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$ である。大きさは ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ なので，$x$ 成分が正の単位ベクトルは $$\overrightarrow{n}=({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ である。

(2)

平面 $\alpha$ は原点を通り，法線ベクトルとして $(2,-2,-1)$ をもつから $2x-2y-z=0$ で表される。点 $P(4,0,-1)$ について $2\cdot 4-2\cdot 0-(-1)=9$ であり，$(2,-2,-1)$ の大きさは $3$ である。したがって $P$ は平面から，$\overrightarrow{n}$ の向きに距離 $3$ だけ離れている。

よって垂線の足を $H$ とすると$$H=P-3\overrightarrow{n}=(4,0,-1)-3({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})=(2,2,0)$$である。対称点 $P^{\mathrm{\prime }}$ は $H$ を中点として $P$ の反対側にあるから $P^{\mathrm{\prime }}=2H-P=(0,4,1)$ である。

(3) $P^{\mathrm{\prime }}$ は $P$ を平面 $\alpha$ に関して対称移動した点である。$R$ が平面 $\alpha$ 上にあるとき，平面に関する対称性から $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{P^{\mathrm{\prime }}R}\mathrm{\mid }$$ である。したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{RQ}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{P^{\mathrm{\prime }}R}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{RQ}\mathrm{\mid }$$であり，これは点 $P^{\mathrm{\prime }}$ から $R$ を通って $Q$ へ行く折れ線の長さである。三角不等式より，この長さは直線 $P^{\mathrm{\prime }}Q$ 上に $R$ があるとき最小になる。よって求める $R$ は直線 $P^{\mathrm{\prime }}Q$ と平面 $\alpha$ の交点である。 $P^{\mathrm{\prime }}=(0,4,1)$，$Q=(4,0,5)$ だから，直線 $P^{\mathrm{\prime }}Q$ 上の点を $$P^{\mathrm{\prime }}+\lambda (Q-P^{\mathrm{\prime }})=(4\lambda ,4-4\lambda ,1+4\lambda )$$ とおく。これを平面 $2x-2y-z=0$ に代入すると $$2(4\lambda )-2(4-4\lambda )-(1+4\lambda )=0$$ すなわち $12\lambda -9=0$ である。したがって $\lambda ={\displaystyle \frac{3}{4}}$ であり，$R=(3,1,4)$ を得る。

(1) は内積条件から単位法線を求める。(2) は垂線の足を平面上の点 $H=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$ と置き，$P-H$ が $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ に垂直である連立方程式を解く。(3) は $P$ を $P^{\mathrm{\prime }}$ へ反射すると距離和が折れ線 $P^{\mathrm{\prime }}RQ$ になり，三角不等式の等号条件から $R$ を直線 $P^{\mathrm{\prime }}Q$ と平面の交点にする。

(1) $$\overrightarrow{a}=(1,1,0),\overrightarrow{b}=(2,1,2)\mathrm{.}$$両方に垂直なベクトルを $(u,v,w)$ とおくと$$u+v=0,2u+v+2w=0.$$よって法線方向は $(2,-2,-1)$ であり，大きさは3だから$$\overrightarrow{n}=({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})\mathrm{.}$$(2)
垂線の足を $$H=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$ とおく。$$(P-H)\cdot \overrightarrow{a}=(P-H)\cdot \overrightarrow{b}=0$$ より$$\{\begin{array}{l}2s+3t=4,\\ 3s+9t=6.\end{array}$$したがって $s=2,t=0$ で$$H=(2,2,0)\mathrm{.}$$よって$$P^{\mathrm{\prime }}=2H-P=(0,4,1)\mathrm{.}$$(3)
$R\in \alpha$ なら反射の性質から $PR=P^{\mathrm{\prime }}R$ である。したがって$$PR+RQ=P^{\mathrm{\prime }}R+RQ\geqq P^{\mathrm{\prime }}Q\mathrm{.}$$等号は $P^{\mathrm{\prime }},R,Q$ がこの順に一直線上に並ぶときに成立する。

直線 $P^{\mathrm{\prime }}Q$ 上の点は$$(0,4,1)+\lambda (4,-4,4)=(4\lambda ,4-4\lambda ,1+4\lambda )$$と表せる。平面 $\alpha$ の方程式$$2x-2y-z=0$$へ代入すると$$12\lambda -9=0,\lambda ={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$$0<\lambda <1$ なので交点は線分 $P^{\mathrm{\prime }}Q$ 上にあり，等号が実現する。よって$$R=(3,1,4)\mathrm{.}$$\newpage