九州大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第3問

(1)
仮に $D=0$ とする。このとき $ad-bc=0$ であるから、$$\overrightarrow{m}=(a,c)$$ と $$\overrightarrow{n}=(b,d)$$ は平行である。実際、$a\mathrm{\ne }0$ なら $$(b,d)=\frac{b}{a}(a,c)$$、$a=0$ なら $c\mathrm{\ne }0$ かつ $b=0$ なので $$(b,d)=\frac{d}{c}(0,c)$$ と書ける。

したがって、$r\overrightarrow{m}+s\overrightarrow{n}$ で表されるベクトルはすべて $\overrightarrow{m}$ と平行な1本の直線上にある。例えば $(-c,a)$ は零ベクトルでなく、$\overrightarrow{m}$ と垂直なので、その直線上にはない。よってすべての $\overrightarrow{q}$ に対して条件Iが成り立つことはない。したがって条件Iがすべての $\overrightarrow{q}$ に対して成り立つなら、$D\mathrm{\ne }0$ である。

(2) $$\overrightarrow{v}=(x,y)$$ とおくと、条件$$\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{v}=1,\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}=0$$は $ax+cy=1,bx+dy=0$ である。$D=ad-bc\mathrm{\ne }0$ なので、これを解いて $$\overrightarrow{v}=(\frac{d}{D},-\frac{b}{D})$$ を得る。

同様に $$\overrightarrow{w}=(X,Y)$$ とおくと、$aX+cY=0,bX+dY=1$ であり、$$\overrightarrow{w}=(-\frac{c}{D},\frac{a}{D})$$ となる。

(3) $a,b,c,d$ は整数であるから、$D=ad-bc$ も整数である。まず、すべての整数成分の $\overrightarrow{q}$ に対して条件IIが成り立つと仮定する。 $$\overrightarrow{q}=(1,0)$$ のとき、(2) のベクトルを用いて係数を取り出すと$$r=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{d}{D},s=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{w}=-\frac{c}{D}$$である。条件IIより、これらは整数でなければならない。$$\overrightarrow{q}=(0,1)$$ のときも同様に $$r=-\frac{b}{D},s=\frac{a}{D}$$ が整数である。したがって $\frac{a}{D},\frac{b}{D},\frac{c}{D},\frac{d}{D}$ はいずれも整数である。

そこで $$a=DA,b=DB,c=DC,d=DE$$ と書く。ただし $A,B,C,E$ は整数である。すると $D=ad-bc=D^2(AE-BC)$ である。$D\mathrm{\ne }0$ なので両辺を $D$ で割って $1=D(AE-BC)$ を得る。右辺の $AE-BC$ は整数だから、$D$ は $1$ の約数である。よって $D=1,-1$ である。

逆に $D=\pm 1$ とする。このとき (2) で求めた$$\overrightarrow{v}=(\frac{d}{D},-\frac{b}{D}),\overrightarrow{w}=(-\frac{c}{D},\frac{a}{D})$$はいずれも整数成分のベクトルである。整数成分の任意の $\overrightarrow{q}$ に対して$$r=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{v},s=\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{w}$$とおけば、$r,s$ は整数であり、$$r\overrightarrow{m}+s\overrightarrow{n}=\overrightarrow{q}$$ が成り立つ。したがって条件IIは成り立つ。

以上より、$D$ のとりうる値は $1,-1$ である。

$\overrightarrow{q}=(x,y)$ として成分の連立方程式を直接解き，$r=(dx-by)\mathrm{/}D$，$s=(-cx+ay)\mathrm{/}D$ を得る。任意の整数 $x,y$ で両係数が整数になる条件を，$(1,0),(0,1)$ を代入して調べる。これにより $D$ が $a,b,c,d$ をすべて割ることと $D=ad-bc$ を組み合わせる。

(1)
$D=0$ なら $\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$ は平行である。
したがって両者の一次結合は1本の直線上にしかない。$$\overrightarrow{q}=(-c,a)$$ は零ベクトルでなく
$\overrightarrow{m}$ に垂直だから，この $\overrightarrow{q}$ は表せない。
よって条件Iがすべての $\overrightarrow{q}$ で成り立つなら$$D\mathrm{\ne }0$$である。

(2)
$(d,-b)$ は $\overrightarrow{n}$ に垂直で，$$\overrightarrow{m}\cdot (d,-b)=D$$ である。同様に
$(-c,a)$ は $\overrightarrow{m}$ に垂直で，$$\overrightarrow{n}\cdot (-c,a)=D$$ である。よって$$\overrightarrow{v}=(\frac{d}{D},-\frac{b}{D}),\overrightarrow{w}=(-\frac{c}{D},\frac{a}{D})$$である。

(3)
$\overrightarrow{q}=(x,y)$ とする。成分で書けば$$ar+bs=x,cr+ds=y\mathrm{.}$$$D\mathrm{\ne }0$ なので$$\begin{array}{cccc}& r=\frac{dx-by}{D},s=\frac{-cx+ay}{D}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$すべての整数 $x,y$ に対して (1) が整数になるとする。
$(x,y)=(1,0),(0,1)$ を代入すれば$$\frac{d}{D},-\frac{c}{D},-\frac{b}{D},\frac{a}{D}$$はすべて整数である。したがって$$a=DA,b=DB,c=DC,d=DE$$と整数 $A,B,C,E$ を用いて書ける。これを
$D=ad-bc$ へ代入すると$$D=D^2(AE-BC)\mathrm{.}$$$D\mathrm{\ne }0$ だから$$1=D(AE-BC),$$よって $D=\pm 1$ である。

逆に $D=\pm 1$ なら，任意の整数 $x,y$ に対して (1) は整数であり，
条件IIを満たす。したがって$$D=1,-1$$である。