九州大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
座標を $B=(0,0),C=(7,0)$ とおく。$AB=5$, $AC=6$ であるから、$A=(u,v)$ とすると $$u^2+v^2=25,(u-7{)}^2+v^2=36$$ である。2式を引くと $-14u+49=11$ より $${\displaystyle u=\frac{19}{7}}$$ である。さらに $${\displaystyle v^2=25-{\left(\frac{19}{7}\right)}^2=\frac{864}{49}}$$ であり、$A$ を $x$ 軸の上側に取って $${\displaystyle A=(\frac{19}{7},\frac{12\sqrt{6}}{7})}$$ とする。 $$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}$$ より $${\displaystyle P=A+2(B-A)=2B-A=(-\frac{19}{7},-\frac{12\sqrt{6}}{7})}$$ である。また $$\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BC}$$ より $Q=B+2(C-B)=(14,0)$ である。

直線 $PQ$ の傾きは$$\frac{0+\frac{12\sqrt{6}}{7}}{14+\frac{19}{7}}=\frac{12\sqrt{6}}{117}=\frac{4\sqrt{6}}{39}$$である。したがって、これに垂直な直線 $AH$ の傾きは ${\displaystyle -\frac{39}{4\sqrt{6}}}$ である。直線 $AH$ は点 $A$ を通るので $${\displaystyle y-\frac{12\sqrt{6}}{7}=-\frac{39}{4\sqrt{6}}(x-\frac{19}{7})}$$ である。

点 $R$ はこの直線と $BC$、すなわち $x$ 軸との交点である。$y=0$ を代入すると $${\displaystyle -\frac{12\sqrt{6}}{7}=-\frac{39}{4\sqrt{6}}(x-\frac{19}{7})}$$ より $${\displaystyle x-\frac{19}{7}=\frac{96}{91}}$$ となる。よって $${\displaystyle R=(\frac{49}{13},0)}$$ である。したがって $${\displaystyle BR=\frac{49}{13},RC=7-\frac{49}{13}=\frac{42}{13}}$$ であり、$BR:RC=49:42=7:6$ である。

(2)
点 $H$ は直線 $AH$ と直線 $PQ$ の交点である。計算しやすいように、直線 $PQ$ を点 $Q(14,0)$ と傾き ${\displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{39}}$ を用いて $${\displaystyle y=\frac{4\sqrt{6}}{39}(x-14)}$$ と書く。これと直線 $AH$ を連立すると $${\displaystyle H=(\frac{337}{77},-\frac{76\sqrt{6}}{77})}$$ を得る。

まず $A$ と $R$ の距離は$$A{R}^2={(\frac{19}{7}-\frac{49}{13})}^2+{\left(\frac{12\sqrt{6}}{7}\right)}^2$$ $${\displaystyle ={(-\frac{96}{91})}^2+\frac{864}{49}=\frac{3168}{169}}$$ であるから $${\displaystyle AR=\frac{12\sqrt{22}}{13}}$$ である。

次に$$R{H}^2={(\frac{337}{77}-\frac{49}{13})}^2+{(-\frac{76\sqrt{6}}{77})}^2=\frac{5776\cdot 22}{{143}^2}$$であるから $${\displaystyle RH=\frac{76\sqrt{22}}{143}}$$ である。よって $${\displaystyle AR:RH=\frac{12\sqrt{22}}{13}:\frac{76\sqrt{22}}{143}}$$ であり、$143=11\cdot 13$ を用いて整理すると $AR:RH=33:19$ である。

(3)
三角形 $RHC$ では、底辺を $RC$ と見れば $${\displaystyle RC=\frac{42}{13}}$$ である。また $R,C$ は $x$ 軸上にあるので、高さは点 $H$ の $y$ 座標の絶対値 ${\displaystyle \frac{76\sqrt{6}}{77}}$ である。したがって面積は$$\frac{1}{2}\cdot \frac{42}{13}\cdot \frac{76\sqrt{6}}{77}=\frac{228\sqrt{6}}{143}$$である。

$A=(0,0),B=(5,0)$ と置き，辺長から $C$ の座標を決める。条件から $P,Q$ を座標表示し，原点から直線 $PQ$ への射影で $H$ を求める。直線 $AH$ と $BC$ の交点を $R$ として比と面積を計算する。

(1) $$A=(0,0),B=(5,0)$$と置く。$AC=6,BC=7$ から$$C=(\frac{6}{5},\frac{12\sqrt{6}}{5})$$である。また $$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AB}$$，$$\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BC}$$ より$$P=(10,0),Q=(-\frac{13}{5},\frac{24\sqrt{6}}{5})\mathrm{.}$$直線 $PQ$ の方向ベクトルを$$\mathit{d}=Q-P=(-\frac{63}{5},\frac{24\sqrt{6}}{5})$$とする。$H=P+t\mathit{d}$ とおき $AH\perp PQ$ を使うと$$(P+t\mathit{d})\cdot \mathit{d}=0,t=\frac{14}{33}\mathrm{.}$$したがって$$H=(\frac{256}{55},\frac{112\sqrt{6}}{55})\mathrm{.}$$$R$ は直線 $AH$ 上にあるから $R=\lambda H$ とおく。さらに $R\in BC$ を連立すると$$\lambda =\frac{33}{52},R=B+\frac{7}{13}(C-B)\mathrm{.}$$よって$$BR:RC=7:6.$$(2)
$R=(33\mathrm{/}52)H$ であり，$A,R,H$ はこの順に一直線上にある。したがって$$AR:RH=\frac{33}{52}:\frac{19}{52}$$より$$AR:RH=33:19.$$(3)
座標から$$[ABC]=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{12\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}\mathrm{.}$$また $RC\mathrm{/}BC=6\mathrm{/}13$ だから$$[ARC]=\frac{6}{13}[ABC]\mathrm{.}$$三角形 $ARC$ と $RHC$ は底辺 $RC$ を共有し，高さの比は$$RH:RA=19:33$$である。よって$$[RHC]=\frac{19}{33}\cdot \frac{6}{13}\cdot 6\sqrt{6}=\frac{228\sqrt{6}}{143}\mathrm{.}$$