問題
三角形の辺，，の長さをそれぞれ5，7，6とし，点と点はそれぞれおよびを満たす点とする。さらに，点から線分に下ろした垂線と線分の交点を，線分と線分の交点をとする。以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) 三角形の面積を求めよ。
方針
解法1（ベクトルの内積と内分比を用いる）
座標を置いて距離比と面積を一貫して計算する。辺 を 軸上に置き、余弦定理から の座標を決める。条件 , から を求め、直線 の傾きから垂線 を書く。 と の交点が 、 と の交点が なので、座標から比と高さを読み取る。
解法2（座標を置いて垂足と交点を求める）
と置き，辺長から の座標を決める。条件から を座標表示し，原点から直線 への射影で を求める。直線 と の交点を として比と面積を計算する。
解答
解法1（ベクトルの内積と内分比を用いる）
(1)
座標を とおく。, であるから、 とすると である。2式を引くと より である。さらに であり、 を 軸の上側に取って とする。 より である。また より である。
直線 の傾きは
である。したがって、これに垂直な直線 の傾きは である。直線 は点 を通るので である。
点 はこの直線と 、すなわち 軸との交点である。 を代入すると より となる。よって である。したがって であり、 である。
(2)
点 は直線 と直線 の交点である。計算しやすいように、直線 を点 と傾き を用いて と書く。これと直線 を連立すると を得る。
まず と の距離は
であるから である。
次に
であるから である。よって であり、 を用いて整理すると である。
(3)
三角形 では、底辺を と見れば である。また は 軸上にあるので、高さは点 の 座標の絶対値 である。したがって面積は
である。
解法2（座標を置いて垂足と交点を求める）
(1)
と置く。 から
である。また ， より
直線 の方向ベクトルを
とする。 とおき を使うと
したがって
は直線 上にあるから とおく。さらに を連立すると
よって
(2)
であり， はこの順に一直線上にある。したがって
より
(3)
座標から
また だから
三角形 と は底辺 を共有し，高さの比は
である。よって
