九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
点 $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,2)$ を通る平面 $ABC$ は、切片の形から $${\displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{2}=1}$$ すなわち $2x+2y+z=2$ である。

四面体 $OABC$ の内接球は3つの座標平面 $x=0,y=0,z=0$ に接する。したがって中心を $(r,r,r)(r>0)$ とおけば、半径も $r$ である。さらに平面 $ABC$ にも接するので、点 $(r,r,r)$ と平面 $2x+2y+z-2=0$ の距離が $r$ に等しい。

内接球の中心は四面体の内部にあるから $2-5r>0$ であり、$${\displaystyle \frac{2-5r}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=r}$$ すなわち $${\displaystyle \frac{2-5r}{3}=r}$$ である。よって $${\displaystyle 2=8r,r=\frac{1}{4}}$$ である。求める中心は ${\displaystyle (\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})}$ である。

(2)
球の中心の3つの座標が正で、3つの座標平面にすべて接するので、中心を $(r,r,r)(r>0)$ とおくと半径は $r$ である。

中心 $(r,r,r)$ から平面 $ABC$ までの距離を $d$ とすると $${\displaystyle d=\frac{\mathrm{\mid }2r+2r+r-2\mathrm{\mid }}{3}=\frac{\mathrm{\mid }5r-2\mathrm{\mid }}{3}}$$ である。球と平面が交わってできる円の半径を $\rho$ とすると、直角三角形から ${\rho }^2=r^2-d^2$ である。したがって $${\displaystyle {\rho }^2=r^2-\frac{(5r-2{)}^2}{9}=\frac{-16r^2+20r-4}{9}}$$ である。

この二次関数は $${\displaystyle -16r^2+20r-4=-16{(r-\frac{5}{8})}^2+\frac{9}{4}}$$ と平方完成できる。よって ${\rho }^2$ は $${\displaystyle r=\frac{5}{8}}$$ のとき最大となり、その最大値は $${\displaystyle {\rho }^2=\frac{1}{4}}$$ である。このとき $${\displaystyle d=\frac{\mathrm{\mid }25\mathrm{/}8-2\mathrm{\mid }}{3}=\frac{3}{8}<\frac{5}{8}=r}$$ であり、確かに平面と交わる。したがって断面円の面積の最大値は $${\displaystyle \pi {\rho }^2=\frac{\pi }{4}}$$ である。

(1) は座標平面3面へ接することから内接球の中心を $(r,r,r)$ と置き，第4面 $ABC$ までの距離も $r$ とする。(2)も中心 $(r,r,r)$ の球と平面 $ABC$ の距離から切り口の半径を表し，平方完成する。

(1)
平面 $ABC$ の方程式は$$\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{2}=1,2x+2y+z-2=0$$である。内接球は3つの座標平面に接するので，半径を $r$ とすれば中心は $I(r,r,r)$ である。$I$ は四面体の内部にあるから，平面 $ABC$ までの距離は$$\frac{2-5r}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{2-5r}{3}$$である。これが $r$ に等しいので$$\frac{2-5r}{3}=r,r=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$したがって中心は$$(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$$である。

(2)
球の半径を $r>0$，中心を $P(r,r,r)$ とする。平面 $ABC$ までの距離は$$d=\frac{\mathrm{\mid }5r-2\mathrm{\mid }}{3}\mathrm{.}$$平面と球が円で交わる条件は $d<r$，すなわち$$(5r-2{)}^2<9r^2⟺\frac{1}{4}<r<1$$である。切り口の円の半径を $R$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R^2}& {\displaystyle =r^2-d^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r^2-\frac{(5r-2{)}^2}{9}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{9}(-4r^2+5r-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}-\frac{16}{9}{(r-\frac{5}{8})}^2\mathrm{.}}\end{array}$$よって $r=5\mathrm{/}8$ のとき $R^2$ は最大値 $1\mathrm{/}4$ をとる。求める面積の最大値は$$\pi R^2=\frac{\pi }{4}$$である。