問題
座標空間内の4点，，，を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 四面体に内接する球の中心の座標を求めよ。
(2) 中心の座標，座標，座標がすべて正の実数であり，平面，平面，平面のすべてと接する球を考える。この球が平面と交わるとき，その交わりとしてできる円の面積の最大値を求めよ。
方針
解法1（体積分割と平面までの距離を用いる）
座標平面 にすべて接する球は、中心座標がすべて半径に等しいので中心を と置ける。平面 は であり、(1)ではこの平面までの距離が になる条件を解く。(2)では同じ中心・半径の球と平面 の距離 から、断面円の半径の2乗 を作り、二次関数として最大化する。交わる条件 も最大点で確認する。
解法2（4面までの距離を方程式にする）
(1)は座標平面3面へ接することから内接球の中心を と置き，第4面 までの距離も とする。(2)も中心 の球と平面 の距離から切り口の半径を表し，平方完成する。
解答
解法1（体積分割と平面までの距離を用いる）
(1)
点 , , を通る平面 は、切片の形から すなわち である。
四面体 の内接球は3つの座標平面 に接する。したがって中心を とおけば、半径も である。さらに平面 にも接するので、点 と平面 の距離が に等しい。
内接球の中心は四面体の内部にあるから であり、 すなわち である。よって である。求める中心は である。
(2)
球の中心の3つの座標が正で、3つの座標平面にすべて接するので、中心を とおくと半径は である。
中心 から平面 までの距離を とすると である。球と平面が交わってできる円の半径を とすると、直角三角形から である。したがって である。
この二次関数は と平方完成できる。よって は のとき最大となり、その最大値は である。このとき であり、確かに平面と交わる。したがって断面円の面積の最大値は である。
解法2（4面までの距離を方程式にする）
(1)
平面 の方程式は
である。内接球は3つの座標平面に接するので，半径を とすれば中心は である。 は四面体の内部にあるから，平面 までの距離は
である。これが に等しいので
したがって中心は
である。
(2)
球の半径を ，中心を とする。平面 までの距離は
平面と球が円で交わる条件は ，すなわち
である。切り口の円の半径を とすると
よって のとき は最大値 をとる。求める面積の最大値は
である。
