九州大学 2023年度
文系数学 第1問

解答

解法1（標準解法）

$|x|\leqq 3$ では $C:y=9-x^2$ であり、$|x|\geqq 3$ では $C:y=x^2-9$ である。 $0<a<9$ より、中央の交点を $u=\sqrt{9-a}(0<u<3)$ とおくと、$x=\pm u$ で $9-x^2=a$ となる。また外側の交点を $v=\sqrt{9+a}(3<v<3\sqrt{2})$ とおくと、$x=\pm v$ で $x^2-9=a$ となる。ここで $u^2=9-a,v^2=9+a$ だから $u^2+v^2=18$ である。

まず、$y\geqq a$ にある部分は中央の山形の部分である。対称性より $S_1=2{\int }_0^u\{(9-x^2)-a\}dx=2{\int }_0^u(u^2-x^2)dx=\frac{4}{3}{u}^3$ となる。

次に、$y\leqq a$ にある部分は左右2つに分かれる。右側の面積は、$u\leqq x\leqq 3$ では直線と中央の放物線の差、$3\leqq x\leqq v$ では直線と外側の放物線の差を足せばよい。したがって $S_2=2\left\{{\int }_u^3\{a-(9-x^2)\}dx+{\int }_3^v\{a-(x^2-9)\}dx\right\}$ である。$a=9-u^2=v^2-9$ を用いると $S_2=2\left\{{\int }_u^3(x^2-u^2)dx+{\int }_3^v(v^2-x^2)dx\right\}$ となる。各積分を計算すると ${\int }_u^3(x^2-u^2)dx=9-3u^2+\frac{2}{3}{u}^3$ であり、${\int }_3^v(v^2-x^2)dx=\frac{2}{3}{v}^3-3v^2+9$ である。よって

となる。 $S_1=S_2$ より $\frac{4}{3}{u}^3=\frac{4}{3}{u}^3+\frac{4}{3}{v}^3-72$ であるから $v^3=54$ である。したがって $v^2=54^{\frac{2}{3}}=9\cdot 2^{\frac{2}{3}}$ であり、$a=v^2-9$ から $a=9\left(2^{\frac{2}{3}}-1\right)$ を得る。この値は $0<a<9$ を満たすので、求める値である。

解法2（符号付き面積を一度に積分する方法）

外側の交点の正の $x$ 座標を

とおく。曲線と直線で囲まれる全領域は $-v\leqq x\leqq v$ にあり，$|x^2-9|-a$ が正の部分の面積が $S_1$，負の部分の面積の絶対値が$S_2$ である。したがって

図で見ると，青い部分が正，橙色の部分が負の寄与である。

被積分関数は偶関数であり，$v^2=9+a$ だから

よって $S_1=S_2$ であるための必要十分条件は

である。したがって

となり，$a=v^2-9$ より

を得る。この値は $0<a<9$ を満たす。