九州大学 2023年度 前期日程 一般選抜文系数学 第1問

$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 3$ では $C:y=9-x^2$ であり、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 3$ では $C:y=x^2-9$ である。 $0<a<9$ より、中央の交点を $$u=\sqrt{9-a}(0<u<3)$$ とおくと、$x=\pm u$ で $9-x^2=a$ となる。また外側の交点を $$v=\sqrt{9+a}(3<v<3\sqrt{2})$$ とおくと、$x=\pm v$ で $x^2-9=a$ となる。ここで $u^2=9-a,v^2=9+a$ だから $u^2+v^2=18$ である。

まず、$y\geqq a$ にある部分は中央の山形の部分である。対称性より $$S_1=2{\int }_0^u\{(9-x^2)-a\}dx=2{\int }_0^u(u^2-x^2)dx=\frac{4}{3}{u}^3$$ となる。

次に、$y\leqq a$ にある部分は左右2つに分かれる。右側の面積は、$u\leqq x\leqq 3$ では直線と中央の放物線の差、$3\leqq x\leqq v$ では直線と外側の放物線の差を足せばよい。したがって $$S_2=2\{{\int }_u^3\{a-(9-x^2)\}dx+{\int }_3^v\{a-(x^2-9)\}dx\}$$ である。$a=9-u^2=v^2-9$ を用いると $$S_2=2\{{\int }_u^3(x^2-u^2)dx+{\int }_3^v(v^2-x^2)dx\}$$ となる。各積分を計算すると $${\int }_u^3(x^2-u^2)dx=9-3u^2+\frac{2}{3}{u}^3$$ であり、$${\int }_3^v(v^2-x^2)dx=\frac{2}{3}{v}^3-3v^2+9$$ である。よって$$S_2=2\{18-3(u^2+v^2)+\frac{2}{3}(u^3+v^3)\}=\frac{4}{3}{u}^3+\frac{4}{3}{v}^3-72$$となる。 $S_1=S_2$ より $$\frac{4}{3}{u}^3=\frac{4}{3}{u}^3+\frac{4}{3}{v}^3-72$$ であるから $v^3=54$ である。したがって $$v^2={54}^{\frac{2}{3}}=9\cdot 2^{\frac{2}{3}}$$ であり、$a=v^2-9$ から $$a=9(2^{\frac{2}{3}}-1)$$ を得る。この値は $0<a<9$ を満たすので、求める値である。

外側の交点を $v=\sqrt{9+a}$ とおく。$S_1-S_2$ は $-v\leqq x\leqq v$ における $\mathrm{\mid }{x}^2-9\mathrm{\mid }-a$ の符号付き積分に等しい。絶対値が切り替わる $x=\pm 3$ だけで積分を分けると，中央の交点を導入せず $v^3=54$ が直接得られる。

外側の交点の正の $x$ 座標を$$v=\sqrt{9+a}(3<v<3\sqrt{2})$$とおく。曲線と直線で囲まれる全領域は $-v\leqq x\leqq v$ にあり，
$\mathrm{\mid }{x}^2-9\mathrm{\mid }-a$ が正の部分の面積が $S_1$，負の部分の面積の絶対値が
$S_2$ である。したがって$$S_1-S_2={\int }_{-v}^v\{\mathrm{\mid }{x}^2-9\mathrm{\mid }-a\}dx\mathrm{.}$$図で見ると，青い部分が正，橙色の部分が負の寄与である。

被積分関数は偶関数であり，$v^2=9+a$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1-S_2}& {\displaystyle =2\{{\int }_0^3(9-x^2-a)dx+{\int }_3^v(x^2-9-a)dx\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\{(18-3a)+(-\frac{2}{3}{v}^3+18+3a)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =72-\frac{4}{3}{v}^3\mathrm{.}}\end{array}$$よって $S_1=S_2$ であるための必要十分条件は$$v^3=54$$である。したがって$$v^2={54}^{2\mathrm{/}3}=9\cdot 2^{2\mathrm{/}3}$$となり，$a=v^2-9$ より$$a=9(2^{2\mathrm{/}3}-1)$$を得る。この値は $0<a<9$ を満たす。