九州大学 2023年度 前期日程 一般選抜文系数学 第2問

(1) $y=x^3-x$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-1$ である。したがって点 $A(t,t^3-t)$ における接線 $l$ は $y-(t^3-t)=(3t^2-1)(x-t)$ すなわち $y=(3t^2-1)x-2t^3$ である。これと $y=-x$ を連立すると $-x=(3t^2-1)x-2t^3$ より $3t^{2}x=2t^3$ である。$t>0$ だから $$x=\frac{2t}{3}$$ であり、$y=-x$ から $B(\frac{2t}{3},-\frac{2t}{3})$ を得る。

(2) $$\overrightarrow{BO}=(-\frac{2t}{3},\frac{2t}{3}),\overrightarrow{BA}=(\frac{t}{3},t^3-\frac{t}{3})$$である。2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は$$\mid (-\frac{2t}{3})(t^3-\frac{t}{3})-\left(\frac{2t}{3}\right)\left(\frac{t}{3}\right)\mid =\frac{2t^4}{3}$$である。また $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{BO}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{8t^2}{9}$$ であり、$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{BA}{\mathrm{\mid }}^2={\left(\frac{t}{3}\right)}^2+{(t^3-\frac{t}{3})}^2=\frac{t^2}{9}(9t^4-6t^2+2)$$である。よって$${\sin }^2\theta =\frac{{\left(\frac{2t^4}{3}\right)}^2}{\frac{8t^2}{9}\cdot \frac{t^2}{9}(9t^4-6t^2+2)}=\frac{9t^4}{2(9t^4-6t^2+2)}$$となる。

(3) $P$ は三角形 $OAB$ の外接円の中心であるから、$OP$ は外接円の半径である。$OA$ は角 $\mathrm{\angle }OBA=\theta$ の向かい側の辺なので、外接円の半径を $R$ とすると $OA=2R\sin \theta$ である。ここで $R=OP$ だから $$f(t)=\frac{OP}{OA}=\frac{1}{2\sin \theta }$$ である。したがって (2) より$$f(t{)}^2=\frac{1}{4{\sin }^2\theta }=\frac{9t^4-6t^2+2}{18t^4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3t^2}+\frac{1}{9t^4}$$となる。 $u=t^2$ とおくと $u>0$ であり、$$f(t{)}^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{3u}+\frac{1}{9u^2}$$ である。これを $u$ で微分すると$$\frac{d}{du}(\frac{1}{2}-\frac{1}{3u}+\frac{1}{9u^2})=\frac{3u-2}{9u^3}$$である。$u>0$ なので、$u<\frac{2}{3}$ では減少し、$u>\frac{2}{3}$ では増加する。よって最小は $u=\frac{2}{3}$ のときである。すなわち $$t=\sqrt{\frac{2}{3}}$$ である。このとき $f(t{)}^2=\frac{1}{4}$ だから、$f(t)>0$ より最小値は $\frac{1}{2}$ である。

(1) ，(2) は接線と2ベクトルの行列式から求める。(3) では $P=(X,Y)$ とおき，$PO=PA=PB$ を2本の一次方程式に直して外心を決定する。$O{P}^2\mathrm{/}O{A}^2$ を整理して $u=t^2$ の関数として最小化し，最小時には $P$ が $OA$ の中点になることも図で確認する。

(1)
接線は$$y=(3t^2-1)x-2t^3$$である。$y=-x$ と連立して$$B(\frac{2t}{3},-\frac{2t}{3})$$を得る。

(2) $$\overrightarrow{BO}=(-\frac{2t}{3},\frac{2t}{3}),\overrightarrow{BA}=(\frac{t}{3},t^3-\frac{t}{3})$$である。したがって$${\sin }^2\theta =\frac{\det (\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA}{)}^2}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{BO}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{BA}{\mathrm{\mid }}^2}=\frac{9t^4}{2(9t^4-6t^2+2)}\mathrm{.}$$(3)
$P=(X,Y)$ とおく。$PO=PB$ より$$\begin{array}{cccc}& X-Y=\frac{2t}{3}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$また $PO=PA$ より$$\begin{array}{cccc}& X+(t^2-1)Y=\frac{t}{2}(t^4-2t^2+2)\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(1)，(2) を解くと$$X=\frac{t^3}{2}-\frac{t}{3}+\frac{1}{3t},Y=\frac{t^3}{2}-t+\frac{1}{3t}\mathrm{.}$$これを$$O{P}^2=X^2+Y^2,O{A}^2=t^2+(t^3-t{)}^2$$へ代入して整理すると$${\left(\frac{OP}{OA}\right)}^2=\frac{9t^4-6t^2+2}{18t^4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3t^2}+\frac{1}{9t^4}\mathrm{.}$$$u=t^2>0$ とおけば，右辺の導関数は$$\frac{3u-2}{9u^3}$$である。よって $u=2\mathrm{/}3$，すなわち$$t=\sqrt{\frac{2}{3}}$$のとき最小となり，最小値は $1\mathrm{/}2$ である。

このとき $P=A\mathrm{/}2$ となり，$OA$ が外接円の直径になる。