九州大学 2023年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の曲線 $C : y = x^{3} - x$ を考える。実数 $t > 0$ に対して，曲線 $C$ 上の点 $A (t, t^{3} - t)$ における接線を $l$ とする。直線 $l$ と直線 $y = - x$ の交点を $B$ ，三角形 $O A B$ の外接円の中心を $P$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $B$ の座標を $t$ を用いて表せ。

(2) $θ = ∠ O B A$ とする。 $sin^{2} θ$ を $t$ を用いて表せ。

(3) $f (t) = \frac{O P}{O A}$ とする。 $t > 0$ のとき， $f (t)$ を最小にする $t$ の値と $f (t)$ の最小値を求めよ。

出典：九州大学 2023年度前期日程一般選抜文系第2問

方針

解法1（標準解法）

(1) は $y = x^{3} - x$ の接線を作り、直線 $y = - x$ と連立する。(2) は $∠ O B A$ なので、 $B O$ と $B A$ のなす角を、平行四辺形の面積公式で求める。(3) は外接円の中心 $P$ について $O P$ が外接円の半径であることを使い、 $O A = 2 O P sin θ$ から $f (t)^{2}$ を出して最小化する。座標で外心を直接求める方法も検算として有効である。

解法2（外心を座標で直接求める方法）

(1)，(2) は接線と2ベクトルの行列式から求める。(3) では $P = (X, Y)$ とおき， $P O = P A = P B$ を2本の一次方程式に直して外心を決定する。 $O P^{2} / O A^{2}$ を整理して $u = t^{2}$ の関数として最小化し，最小時には $P$ が $O A$ の中点になることも図で確認する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$y = x^{3} - x$ の導関数は $y^{'} = 3 x^{2} - 1$ である。したがって点 $A (t, t^{3} - t)$ における接線 $l$ は $y - (t^{3} - t) = (3 t^{2} - 1) (x - t)$ すなわち $y = (3 t^{2} - 1) x - 2 t^{3}$ である。これと $y = - x$ を連立すると $- x = (3 t^{2} - 1) x - 2 t^{3}$ より $3 t^{2} x = 2 t^{3}$ である。 $t > 0$ だから $x = \frac{2 t}{3}$ であり、 $y = - x$ から $B (\frac{2 t}{3}, - \frac{2 t}{3})$ を得る。

(2)

B O = (- \frac{2 t}{3}, \frac{2 t}{3}), B A = (\frac{t}{3}, t^{3} - \frac{t}{3})

である。2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は

(- \frac{2 t}{3}) (t^{3} - \frac{t}{3}) - (\frac{2 t}{3}) (\frac{t}{3}) = \frac{2 t ^{4}}{3}

である。また $∣ B O ∣^{2} = \frac{8 t ^{2}}{9}$ であり、

∣ B A ∣^{2} = (\frac{t}{3})^{2} + (t^{3} - \frac{t}{3})^{2} = \frac{t ^{2}}{9} (9 t^{4} - 6 t^{2} + 2)

である。よって

sin^{2} θ = \frac{( \frac{2 t ^{4}}{3} ) ^{2}}{\frac{8 t ^{2}}{9} \cdot \frac{t ^{2}}{9} ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )} = \frac{9 t ^{4}}{2 ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )}

となる。

(3)

$P$ は三角形 $O A B$ の外接円の中心であるから、 $O P$ は外接円の半径である。 $O A$ は角 $∠ O B A = θ$ の向かい側の辺なので、外接円の半径を $R$ とすると $O A = 2 R sin θ$ である。ここで $R = O P$ だから $f (t) = \frac{O P}{O A} = \frac{1}{2 s i n θ}$ である。したがって (2) より

f (t)^{2} = \frac{1}{4 sin ^{2} θ} = \frac{9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2}{18 t ^{4}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3 t ^{2}} + \frac{1}{9 t ^{4}}

となる。 $u = t^{2}$ とおくと $u > 0$ であり、 $f (t)^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3 u} + \frac{1}{9 u ^{2}}$ である。これを $u$ で微分すると

\frac{d}{d u} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3 u} + \frac{1}{9 u ^{2}}) = \frac{3 u - 2}{9 u ^{3}}

である。 $u > 0$ なので、 $u < \frac{2}{3}$ では減少し、 $u > \frac{2}{3}$ では増加する。よって最小は $u = \frac{2}{3}$ のときである。すなわち $t = \frac{2}{3}$ である。このとき $f (t)^{2} = \frac{1}{4}$ だから、 $f (t) > 0$ より最小値は $\frac{1}{2}$ である。

解法2（外心を座標で直接求める方法）

(1)

接線は

y = (3 t^{2} - 1) x - 2 t^{3}

である。 $y = - x$ と連立して

B (\frac{2 t}{3}, - \frac{2 t}{3})

を得る。

(2)

B O = (- \frac{2 t}{3}, \frac{2 t}{3}), B A = (\frac{t}{3}, t^{3} - \frac{t}{3})

である。したがって

sin^{2} θ = \frac{det ( B O , B A ) ^{2}}{∣ B O ∣ ^{2} ∣ B A ∣ ^{2}} = \frac{9 t ^{4}}{2 ( 9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2 )} .

(3)

$P = (X, Y)$ とおく。 $P O = P B$ より

X - Y = \frac{2 t}{3} . (1)

また $P O = P A$ より

X + (t^{2} - 1) Y = \frac{t}{2} (t^{4} - 2 t^{2} + 2) . (2)

(1)，(2) を解くと

X = \frac{t ^{3}}{2} - \frac{t}{3} + \frac{1}{3 t}, Y = \frac{t ^{3}}{2} - t + \frac{1}{3 t} .

これを

O P^{2} = X^{2} + Y^{2}, O A^{2} = t^{2} + (t^{3} - t)^{2}

へ代入して整理すると

(\frac{O P}{O A})^{2} = \frac{9 t ^{4} - 6 t ^{2} + 2}{18 t ^{4}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3 t ^{2}} + \frac{1}{9 t ^{4}} .

$u = t^{2} > 0$ とおけば，右辺の導関数は

\frac{3 u - 2}{9 u ^{3}}

である。よって $u = 2/3$ ，すなわち

t = \frac{2}{3}

のとき最小となり，最小値は $1/2$ である。

このとき $P = A /2$ となり， $O A$ が外接円の直径になる。

九州大学 2023年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（外心を座標で直接求める方法）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

解法2（外心を座標で直接求める方法）

(1)

(2)

(3)

九州大学 2023年度
文系数学第2問