九州大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

全事象は，さいころを3回投げるので $6^3=216$ 通りで，いずれも同様に確からしい。

(1)
2次方程式 $x^2-ax+b=0$ の判別式を $D=a^2-4b$ とおく。$f(x)=0$ の実数解は，この2次方程式の実数解と $x=c$ を合わせたものである。

まず $D<0$ のとき，2次方程式は実数解をもたない。したがって $f(x)=0$ の実数解は $x=c$ だけで，ちょうど1個である。$a=1,2,3,4,5,6$ について $a^2<4b$ を満たす $b$ の個数を数えると，それぞれ $6,5,4,2,0,0$ である。よって $D<0$ となる $(a,b)$ は $6+5+4+2=17$ 通りである。この場合，$c$ は自由に6通りとれるので，$17\cdot 6=102$ 通りである。

次に $D=0$ のとき，2次方程式は重解 $$x=\frac{a}{2}$$ をもつ。$f(x)=0$ の実数解が1個になるためには，この重解と $x=c$ が一致しなければならない。さいころの目の範囲で $D=0$，すなわち $b=a^2\mathrm{/}4$ が成り立つのは $(a,b)=(2,1),(4,4)$ であり，それぞれ $c=1,2$ と決まる。したがって $(a,b,c)=(2,1,1),(4,4,2)$ の2通りである。

$D>0$ のとき，2次方程式から相異なる2つの実数解が出るので，$c$ がその一方と一致しても実数解は少なくとも2個ある。よってこの場合は該当しない。

したがって，求める確率は $$\frac{102+2}{216}=\frac{104}{216}=\frac{13}{27}$$ である。

(2)
$f(x)=0$ を満たす自然数 $x$ が3個になるためには，2次方程式 $x^2-ax+b=0$ が相異なる2つの自然数解をもち，さらに $x=c$ がそれら2つとは異なる自然数でなければならない。

2次方程式の2つの自然数解を $r,s$ とし，$1\leqq r<s$ とおく。このとき $a=r+s,b=rs$ であり，$a,b$ はともにさいころの目なので $1\leqq a,b\leqq 6$ である。この条件を満たす組を列挙すると，$$(r,s)=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)$$ であり，対応する $(a,b)$ は $(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(5,6)$ の5通りである。

それぞれについて，$c$ は $1,2,3,4,5,6$ のうち，2つの根 $r,s$ と異なる値であればよい。したがって $c$ は $6-2=4$ 通りである。よって該当する場合の数は $5\cdot 4=20$ 通りである。

求める確率は $$\frac{20}{216}=\frac{5}{54}$$ である。