九州大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
はじめ点Aは座標0にある。1回操作した後、表が出れば $0\mapsto \frac{0}{2}=0$ であり、裏が出れば $0\mapsto 1-\frac{0}{2}=1$ である。したがって $P_1(y)>0$ となる組は $${\displaystyle P_1(0)=\alpha ,P_1(1)=1-\alpha }$$ である。

(2) $0\leqq x\leqq 1$ とする。このとき表が出た後の座標は $$0\leqq \frac{x}{2}\leqq \frac{1}{2}$$ であり、裏が出た後の座標は $\frac{1}{2}\leqq 1-\frac{x}{2}\leqq 1$ である。したがって、座標が $[0,1]$ にあれば、次の操作後も必ず $[0,1]$ にある。

はじめの座標は0で $[0,1]$ に含まれるので、数学的帰納法により、任意の $n$ 回後の座標も $[0,1]$ に含まれる。よって、$y<0$ または $y>1$ のとき $${\displaystyle P_n(y)=0}$$ である。

(3)
まず、座標0にいるためには、はじめからずっと表が出続けるしかない。実際、$$1-\frac{x}{2}=0$$ となるには $x=2$ が必要だが、(2)より座標は $[0,1]$ を出ないので、裏によって0へ来ることはない。したがって $P_n(0)={\alpha }^n$ である。

座標1にいるには、直前に座標0にいて裏が出るしかない。$$\frac{x}{2}=1$$ には $x=2$ が必要であり、$$1-\frac{x}{2}=1$$ には $x=0$ が必要だからである。よって $n\geqq 1$ で $$P_n(1)=(1-\alpha )P_{n-1}(0)=(1-\alpha ){\alpha }^{n-1}$$ である。したがって $${\displaystyle P_n(1)=(1-\alpha ){\alpha }^{n-1}}$$ である。

(4)
(i) $n\leqq k$ のとき。
座標 $2^{-k}$ に到達する経路を逆向きに見る。$2^{-k}$ に到達するには、まずどこかの時刻で1にいて、次の1回で $\frac{1}{2}$ に移り、その後、表による半減を $k-1$ 回続ける必要がある。したがって、1から $2^{-k}$ までだけでも合計 $k$ 回の操作が必要であり、さらに座標1に初めて到達するには少なくとも1回必要である。よって最短でも $k+1$ 回かかる。

したがって $n\leqq k$ では回数が足りず、$${\displaystyle P_n(2^{-k})=0}$$ である。

(ii) $n>k$ のとき。
上の逆向きの考察を正確に使う。時刻 $n$ に $2^{-k}$ にいるためには、時刻 $n-k$ に1にいる必要がある。そこから次の1回で $\frac{1}{2}$ に移るが、座標1からは $$\frac{1}{2},1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ となるので、表でも裏でも必ず $\frac{1}{2}$ に移る。この1回の確率は1である。その後、$\frac{1}{2}$ から $2^{-k}$ へ行くには、表が $k-1$ 回連続して出る必要がある。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n(2^{-k})}& {\displaystyle =P_{n-k}(1)\cdot 1\cdot {\alpha }^{k-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-\alpha ){\alpha }^{n-k-1}{\alpha }^{k-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-\alpha ){\alpha }^{n-2}}\end{array}$$である。よって $${\displaystyle P_n(2^{-k})=(1-\alpha ){\alpha }^{n-2}}$$ である。

目的座標 $y$ へ来る直前の座標を、表・裏それぞれの逆写像から求める。$y<1\mathrm{/}2$、$y=1\mathrm{/}2$、$y>1\mathrm{/}2$ で確率漸化式を分け、$2^{-k}$ の式を $1\mathrm{/}2$、さらに1まで順に戻す。

(1)
初期位置は0である。表なら $0\mapsto 0$、裏なら $0\mapsto 1$ だから$$P_1(0)=\alpha ,P_1(1)=1-\alpha$$であり、これ以外は0である。

(2)
$0\leqq x\leqq 1$ なら$$0\leqq \frac{x}{2}\leqq \frac{1}{2},\frac{1}{2}\leqq 1-\frac{x}{2}\leqq 1.$$したがって $[0,1]$ はどちらの移動でも不変である。初期位置0もこの区間にあるから、帰納的に $y<0$ または $y>1$ では$$P_n(y)=0$$となる。

(3)
0へ移る直前の位置は、表の場合は0、裏の場合は2である。(2)より2にはいないので$$P_n(0)=\alpha P_{n-1}(0)={\alpha }^n\mathrm{.}$$同様に1へ移る直前は、表の場合は2、裏の場合は0である。よって$$P_n(1)=(1-\alpha )P_{n-1}(0)=(1-\alpha ){\alpha }^{n-1}\mathrm{.}$$(4)
逆写像から、$0<y<1\mathrm{/}2$ では表による前状態 $2y$ だけが可能なので$$P_n(y)=\alpha P_{n-1}(2y)\mathrm{.}$$一方 $y=1\mathrm{/}2$ では、位置1から表でも裏でも $1\mathrm{/}2$ へ移るため$$P_n\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=P_{n-1}(1)\mathrm{.}$$$k\geqq 2$ ではこれを反復して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n(2^{-k})}& {\displaystyle =\alpha P_{n-1}(2^{-(k-1)})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cdots }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\alpha }^{k-1}{P}_{n-k+1}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\alpha }^{k-1}{P}_{n-k}(1)\mathrm{.}}\end{array}$$$n\leqq k$ なら、初期時刻より前まで戻ることになり到達不能だから$$P_n(2^{-k})=0.$$$n>k$ なら (3) を代入して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n(2^{-k})}& {\displaystyle ={\alpha }^{k-1}(1-\alpha ){\alpha }^{n-k-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-\alpha ){\alpha }^{n-2}\mathrm{.}}\end{array}$$目標点へ至る部分だけを抜き出すと、逆向き漸化式の構造は次の鎖で見える。