九州大学 2020年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

以下の規則にしたがって数直線上を移動する点Aを考える。

（規則）点Aが座標 $x$ にあるとき，表が出る確率が $α$ $(0 < α < 1)$ のコインを投げて，表が出たら $x$ から $\frac{x}{2}$ へ移動し，裏が出たら $x$ から $1 - \frac{x}{2}$ へ移動する。

点Aがはじめに座標0にあるとして，事象「上記の規則を適用する操作を $n$ 回 $(n ≧ 1)$ 繰り返した直後に点Aが座標 $y$ にある」の確率を記号 $P_{n} (y)$ で表す。このとき以下の問いに答えよ。

(1) $P_{1} (y) > 0$ となる $y$ $(0 ≦ y ≦ 1)$ とその確率 $P_{1} (y)$ の組をすべて答えよ。

(2) $y < 0$ または $y > 1$ のとき， $P_{n} (y) = 0$ であることを示せ。

(3) $P_{n} (1)$ を求めよ。

(4) $k$ を自然数とするとき，以下のそれぞれの条件で $P_{n} (2^{- k})$ を求めよ。

(i) $n ≦ k$ のとき

(ii) $n > k$ のとき

出典：九州大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

解法1（到達経路を後ろから一意にたどる）

区間 $[0, 1]$ が2つの写像で不変であることを示す。端点0と1への直前状態を決定し、 $2^{- k}$ から逆向きに前状態をたどると、 $1, 1/2, \dots, 2^{- k}$ という経路が固定されることを使う。

解法2（確率の逆向き漸化式を立てる）

目的座標 $y$ へ来る直前の座標を、表・裏それぞれの逆写像から求める。 $y < 1/2$ 、 $y = 1/2$ 、 $y > 1/2$ で確率漸化式を分け、 $2^{- k}$ の式を $1/2$ 、さらに1まで順に戻す。

解答

解法1（到達経路を後ろから一意にたどる）

(1)

はじめ点Aは座標0にある。1回操作した後、表が出れば $0 \mapsto \frac{0}{2} = 0$ であり、裏が出れば $0 \mapsto 1 - \frac{0}{2} = 1$ である。したがって $P_{1} (y) > 0$ となる組は $P_{1} (0) = α, P_{1} (1) = 1 - α$ である。

(2)

$0 ≦ x ≦ 1$ とする。このとき表が出た後の座標は $0 ≦ \frac{x}{2} ≦ \frac{1}{2}$ であり、裏が出た後の座標は $\frac{1}{2} ≦ 1 - \frac{x}{2} ≦ 1$ である。したがって、座標が $[0, 1]$ にあれば、次の操作後も必ず $[0, 1]$ にある。

はじめの座標は0で $[0, 1]$ に含まれるので、数学的帰納法により、任意の $n$ 回後の座標も $[0, 1]$ に含まれる。よって、 $y < 0$ または $y > 1$ のとき $P_{n} (y) = 0$ である。

(3)

まず、座標0にいるためには、はじめからずっと表が出続けるしかない。実際、 $1 - \frac{x}{2} = 0$ となるには $x = 2$ が必要だが、(2)より座標は $[0, 1]$ を出ないので、裏によって0へ来ることはない。したがって $P_{n} (0) = α^{n}$ である。

座標1にいるには、直前に座標0にいて裏が出るしかない。 $\frac{x}{2} = 1$ には $x = 2$ が必要であり、 $1 - \frac{x}{2} = 1$ には $x = 0$ が必要だからである。よって $n ≧ 1$ で $P_{n} (1) = (1 - α) P_{n - 1} (0) = (1 - α) α^{n - 1}$ である。したがって $P_{n} (1) = (1 - α) α^{n - 1}$ である。

(4)

(i) $n ≦ k$ のとき。座標 $2^{- k}$ に到達する経路を逆向きに見る。 $2^{- k}$ に到達するには、まずどこかの時刻で1にいて、次の1回で $\frac{1}{2}$ に移り、その後、表による半減を $k - 1$ 回続ける必要がある。したがって、1から $2^{- k}$ までだけでも合計 $k$ 回の操作が必要であり、さらに座標1に初めて到達するには少なくとも1回必要である。よって最短でも $k + 1$ 回かかる。

したがって $n ≦ k$ では回数が足りず、 $P_{n} (2^{- k}) = 0$ である。

(ii)

$n > k$ のとき。上の逆向きの考察を正確に使う。時刻 $n$ に $2^{- k}$ にいるためには、時刻 $n - k$ に1にいる必要がある。そこから次の1回で $\frac{1}{2}$ に移るが、座標1からは $\frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ となるので、表でも裏でも必ず $\frac{1}{2}$ に移る。この1回の確率は1である。その後、 $\frac{1}{2}$ から $2^{- k}$ へ行くには、表が $k - 1$ 回連続して出る必要がある。

したがって

P_{n} (2^{- k}) = P_{n - k} (1) \cdot 1 \cdot α^{k - 1} = (1 - α) α^{n - k - 1} α^{k - 1} = (1 - α) α^{n - 2}

である。よって $P_{n} (2^{- k}) = (1 - α) α^{n - 2}$ である。

解法2（確率の逆向き漸化式を立てる）

(1)

初期位置は0である。表なら $0 \mapsto 0$ 、裏なら $0 \mapsto 1$ だから

P_{1} (0) = α, P_{1} (1) = 1 - α

であり、これ以外は0である。

(2)

$0 ≦ x ≦ 1$ なら

0 ≦ \frac{x}{2} ≦ \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ≦ 1 - \frac{x}{2} ≦ 1.

したがって $[0, 1]$ はどちらの移動でも不変である。初期位置0もこの区間にあるから、帰納的に $y < 0$ または $y > 1$ では

P_{n} (y) = 0

となる。

(3)

0へ移る直前の位置は、表の場合は0、裏の場合は2である。(2)より2にはいないので

P_{n} (0) = α P_{n - 1} (0) = α^{n} .

同様に1へ移る直前は、表の場合は2、裏の場合は0である。よって

P_{n} (1) = (1 - α) P_{n - 1} (0) = (1 - α) α^{n - 1} .

(4)

逆写像から、 $0 < y < 1/2$ では表による前状態 $2 y$ だけが可能なので

P_{n} (y) = α P_{n - 1} (2 y) .

一方 $y = 1/2$ では、位置1から表でも裏でも $1/2$ へ移るため

P_{n} (\frac{1}{2}) = P_{n - 1} (1) .

$k ≧ 2$ ではこれを反復して

P_{n} (2^{- k}) = α P_{n - 1} (2^{- (k - 1)}) = \dots = α^{k - 1} P_{n - k + 1} (\frac{1}{2}) = α^{k - 1} P_{n - k} (1) .

$n ≦ k$ なら、初期時刻より前まで戻ることになり到達不能だから

P_{n} (2^{- k}) = 0.

$n > k$ なら (3) を代入して

P_{n} (2^{- k}) = α^{k - 1} (1 - α) α^{n - k - 1} = (1 - α) α^{n - 2} .

目標点へ至る部分だけを抜き出すと、逆向き漸化式の構造は次の鎖で見える。

@@ F I G U R E : t ik z : 1 :

九州大学 2020年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解法1（到達経路を後ろから一意にたどる）

解法2（確率の逆向き漸化式を立てる）

解答

解法1（到達経路を後ろから一意にたどる）

(1)

(2)

(3)

(4)

(ii)

解法2（確率の逆向き漸化式を立てる）

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2020年度
後期・理系数学後期第5問